Metode Newton Raphson

• Menentukan akar persamaan non linear menggunakan metode Newton Raphson dengan interval yang memuat akar [x0, x1].
• Metode ini akan manghasilkan garis singgung di titik P(x1 ; f(x1)) dan garis akan memotong sumbu x di titik x2.

Persamaan garis singgung: y – f(x1) = f’ (x1) (x – x1) dan x2 = x1 – [f(x) : f’(x)]
Mungkin perlu diingat

• Persamaan garis singgung: y – y1 = m(x – x1)

• Turunan differensial y = a . n --> y’ = a . n . x^n-1
  Contoh: y = 5x^3 – 7x^2 + 8x + 10 --> y’ = 15x^2 – 14x + 8

Cara menentukan interval nya:

1. Tentukan x1 sebagai pendekatan awal (untuk tingkat pertama, bebas).
2. Tentukan nilai f(x1)
3. Tentukan turunan differensial f’(x) [dibaca f aksen x] dari persamaan non linear f(x) dan cari nilainya
4. Tentukan x2
5. Tulis interval-nya [ilustrasi menentukan interval seperti metode sekan]
   

Contoh Soal:
Tentukan akar dari f(x) = x^3 – 2x – 5 dengan metode Newton Raphson
Jawab:
1. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat pertama

• Menentukan nilai x0 dan x1 (kita ambil nilai sembarang)
  x0 = 2 dan x1 = 3
  
• Menentukan f(x1)
  f(x1) = x^3 – 2x – 5
  f(3) = 3^3 – 2.3 – 5 = 27 – 6 – 5 = 16
  
• Menentukan turunan f’(x) dan nilainya
  f(x) = x^3 – 2x – 5 --> f’(x) = 3x^2 – 2
  f’(3) = 3 . 3^2 – 2 = 27 – 2 = 25
  
• Menentukan x2
  x2 = x1 – [f(x) : f’(x)] = 3 – [16 : 25] = 3 – 0,64 = 2,36
  
• Menentukan interval
  Akar x2 lebih dekat dengan x0. Maka intervalnya adalah [x0 ; x2] yaitu [2 ; 2,36]
  

2. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat kedua

• Menentukan nilai x0 dan x1 (kita ambil dari interval langkah satu)
  x0 = 2 dan x1 = 2,36
  
• Menentukan f(x1)
  f(2,36) = (2,36)^3 – 2 . (2,36) – 5 = 13,144 – 4,72 – 5 = 3,424
  
• Menentukan nilainya f’(x)
  f’(2,36) = 3 . (2,36)^2 – 2 = 16,709 – 2 = 14,709
  
• Menentukan x2
  x2 = 2,36 – [3,424 : 14,709] = 2,36 – 0,233 = 2,127
  
• Menentukan interval
  Akar x2 lebih dekat dengan x0. Maka intervalnya adalah [x0 ; x2] yaitu [2 ; 2,127]

3. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat ketiga

• Menentukan nilai x0 dan x1 (kita ambil dari interval langkah kedua)x
  x0 = 2 dan x1 = 2,127
  
• Menentukan f(x1)
  f(2,127) = (2,127)^3 – 2 . (2,127) – 5 = 9,623 – 4,254 – 5 = 0,369
  
• Menentukan nilainya f’(x)
  f’(2,127) = 3 . (2,127)^2 – 2 = 13,572 – 2 = 11,572
  
• Menentukan x2
  x2 = 2,127 – [0,369 : 11,572] = 2,127 – 0,032 = 2,095
  
• Menentukan interval
  Akar x2 lebih dekat dengan x1. Seharusnya intervalnya adalah [x2 ; x1] yaitu [2,095 ; 2,127]. Karena nantinya x1 (nilai 2,127) menjadi sama dengan tingkat kedua maka interval yang benar adalah [2 ; 2,095].
  

4. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat keempat

• Menentukan nilai x0 dan x1 (kita ambil dari interval langkah ketiga)
  x0 = 2 dan x1 = 2,095
  
• Menentukan f(x1)
  f(2,095) = (2,095)^3 – 2 . (2,095) – 5 = 9,195 – 4,19 – 5 = 0,005
  
• Menentukan nilainya f’(x)
  f’(2,095) = 3 . (2,095)^2 – 2 = 13,167 – 2 = 11,165
  
• Menentukan x2
  x2 = 2,095 – [0,005 : 11,165] = 2,095 – 0,0005 = 2,0945
  
• Menentukan interval
  Akar x2 lebih dekat dengan x1. Seharusnya intervalnya adalah [x2 ; x1] yaitu [2,0945 ; 2,095]. Karena nantinya x1 (nilai 2,095) menjadi sama dengan tingkat ketiga maka interval yang benar adalah [2 ; 2,0945].

Materi Kuliah Metode Numerik
Rabu, 27 Januari 2010