Latihan Soal UAS

Tentukan tabel kebenaran dari:

1. (p v q) <==> r
2. ((p ^ -r) v q) --> (-q v r)
3. ((r ^ -p) --> (q v -p)) v ((-r v -q) <==> (q ^ r))

Jawab:

1. (p v q) <==> r

2. ((p ^ -r) v q) --> (-q v r)
Keterangan:
hasil = ((p ^ -r) v q) --> (-q v r)

3. ((r ^ -p) --> (q v -p)) v ((-r v -q) <==> (q ^ r))
Keterangan:
x1 = ((r ^ -p) --> (q v -p))
x2 = ((-r v -q) <==> (q ^ r))
hasil = ((r ^ -p) --> (q v -p)) v ((-r v -q) <==> (q ^ r))

Materi Kuliah Matematika Diskrit
Selasa, 08 September 2009
created by Jupren

Selengkapnya...

Latihan Soal Implikasi

Contoh Soal: Buatlah tabel kebenaran dari:

1. (p ^ q) --> q
2. (p --> q) <==> (-p --> -q)
3. (-(p v –q) v (-p ^ q)) <==> -p
4. ((-p v q) ^ (p v -r)) <==> (-p --> q)

Jawab:

1. (p ^ q) --> q
2. (p --> q) <==> (-p --> -q)3. (-(p v –q) v (-p ^ q)) <==> -pKeterangan:
x1 = (-(p v –q) v (-p ^ q));
hasil = (-(p v –q) v (-p ^ q)) <==> -p


4. ((-p v q) ^ (p v -r)) <==> (-p --> q)
Keterangan:
x1 = ((-p v q) ^ (p v -r));
hasil = ((-p v q) ^ (p v -r)) <==> (-p --> q)



Materi Kuliah Matematika Diskrit
Selasa, 08 September 2009
created by Jupren

Selengkapnya...

Implikasi dan Bi Implikasi

Implikasi
• Arti: Pernyataan majemuk dengan kata penghubung jika.
• Notasi: ==>; ¬-->
• Tabel kebenaran implikasi:

p q p --> q
B B B
B S S
S B B
S S B


• Jenis implikasi ada 3 yaitu:
a) Konvers : q --> p
b) Invers : –p --> –q
c) Kontraposisi : –q --> –p
• Tabel kebenaran jenis implikasi:



Bi Implikasi

• Arti: Pernyataan majemuk dengan kata penghubung ... jika dan hanya jika ...
• Notasi : <==>, <-->
• Tabel kebenaran bi implikasi:

p q p <==> q
B B B
B S S
S B S
S S B


Materi Kuliah Matematika Diskrit
Selasa, 08 September 2009
created by Jupren

Selengkapnya...

Latihan Soal Logika

Contoh Soal: Buatlah tabel kebenaran dari:
1. (-p v q) ^ -q
2. (p ^ q) v (-p ^ -q)
3. (- (p v q)) ^ (-p v q)
4. (p v r) ^ (-q v -r)
Jawab:
1. (-p v q) ^ -q

2. (p ^ q) v (-p ^ -q)






3.(- (p v q)) ^ (-p v q)






4. (p v r) ^ (-q v -r)











Materi Kuliah Matematika Diskrit
Selasa, 01 September 2009
created by Jupren

Selengkapnya...

Negasi, Konjungsi dan Desjungsi

Kalimat
- Sintaks : bentuk kalimat
- Semantik : arti kalimat

Kalimat deklaratif/pernyataan : suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran. Baik dari nilai benar saja atau salah saja.

Contoh :

1. Bilangan biner digunakan dalam sistem digital
2. Sistem analog lebih akurat daripada sistem digital
   

Sub kalimat digunakan p, q, r
Contoh: p = hari ini panas
q = hari ini cerah
Maka:
1. Hari ini panas dan cerah. (p ^ q)
2. Hari ini tidak panas dan tidak cerah. (-p ^ -q)
3. Hari ini panas atau cerah. (p v q)
Sub kalimat mempunyai benar atau salah pada 2 pangkat n; n = banyak sub kalimat

Penghubung kalimat
1. Negasi (ingkaran)

• Arti: Sebuah pernyataan yang meniadakan pernyataan yanga ada.
• Notasi: ¬, –, ˜
• Bentuk: tidak
• Tabel kebenaran negasi:

p q
B S
S B

Keterangan: B=Benar; S=Salah

2. Konjungsi

• Arti: Pernyataan gabungan dari dua pernyataan dengan kata penghubung dan.
• Notasi: ^, x, .
• Bentuk: ... dan ...
• Tabel kebenaran konjungsi:

p q p ^ q
B B B
B S S
S B S
S S S

3. Desjungsi

• Arti: Penghubung dua pernyataan dengan kata penghubung atau.
• Notasi: v, +
• Bentuk: ... atau ...
• Tabel kebenaran desjungsi:

p q p v q
B B B
B S B
S B B
S S S

Materi Kuliah Matematika Diskrit
Selasa, 01 September 2009
created by Jupren

Selengkapnya...

Soal UTS

Petunjuk :

1. Kerjakan semua soal dengan singkat dan jelas
2. Dilarang bekerja sama atau nyontek
3. Boleh menggunakan kalkulator

1. Diketahui : S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,,10,11,12}
A = { 1,3,4,6,7,8,9}
B = {2,4,6,7,8,10}
C = (1,2,3,4,6,7,10,11}

Ditanya :
a. B – A
b. A – c
c. C – A’
d. C – B’
e. (A – B’ )’
f. (A U B)’
g. A U B U C
h. A – (B Π C)
i. A Π B Π C
j. (A U B) Π (B Π C’)

Jawab :
Maka: A’ = {2,5,10,11,12}
B’ = {1,3,5,911,12}
C’ = {5,8,9,12}

a. {2,10}
b. {8,9}
c. {1,3,4,6,7}
d. {2,4,6,710}
e. {1,2,3,5,9,10,11,12}
f. {5,11,12}
g. {1,2,3,4,6,7,8,9,10,11}
h. {1,3,8,9}
i. {4,6,7}
j. {8}


2. Diketahui : f(x) = 4x -7
g(x) = 6 + 2x
h(x) = 5x^

Ditanya :
a. gof(x)
b. gohog(x)
c. f-1 (x)
d. h-1 (x)
e. fog-1 (x)

Jawab:
a. gof(x) = g . f(x)
= 6 + 2(4x - 7)
= 6 + 8x - 14
= 8x - 8

b. gogog(x) = g . h .g(x)
= 6 + 2[5 (6 + 2x)^]
= 6 + 2[5 (36 + 24x + 4x^)]
= 6 + 2(180 + 120x + 20x^)
= 6 + 360 + 240x + 40x^
= 40x^ + 240X + 360

c. f-1 (x) = ?
y = 4x - 7
-4x = - y - 7
4x = y + 7
x = 1/4y + 7/4
f-1 (x) = 1/4x + 7/4
d. h-1 (x) = ?
y = 5x^
x^ = y/5
x = akar 2 dari y/5
h-1 (x) = akar 2 darix/5

e. fog-1 (x) = ?
g-1 (x) = ?
y = 6 + 2x
-2x = 6 - y
2x = y - 6
x = ½y - 3
g-1 (x) = ½x - 3
fog-1 (x) = f . fog-1 (x)
= 4 (½x - 3) - 7
= 2x - 12 - 7
= 2x - 19


3. Diketahui :
Distributor koran mengadakan penelitian terhadap 3850 koran sbb:
- 1500 orang suka membaca Koran Merdeka
- 1400 orang suka membaca Koran Kompas
- 1250 orang suka membaca Koran Tempo
- 500 orang suka membaca Koran Merdeka dan Kompas
- 350 orang suka membaca Koran Kompas dan Tempo
- 250 orang suka membaca Koran Merdeka dan Tempo
- 50 orang suka membaca ketiganya.

Ditanya :
Buatlah diagram venn -nya
a. Berapa orang suka membaca Koran Merdeka saja
b. Berapa orang suka membaca Koran Tempo saja
c. Berapa orang tidak suka membaca Koran Kompas
d. Berapa orang tidak suka membaca ketiganya

Jawab:


a. 1500 – 700 = 800 orang
b. 1250 – 550 = 700 orang
c. 3850 – 1400 = 2450 orang
d. 3850 – 3100 = 750 orang



Soal UTS Smst3
Stikom CKI Wijaya Kesuma

Selengkapnya...

Fungsi & Hubungan Fungsi

Source : Fungsi.pdf



A disebut domain (daerah asal) dan B disebut kodomain (daerah hasil).

Suatu relasi dikatakan fungsi bila daerah asal harus ada relasi satu satu.

Relasi R : A --> B bisa ditulis f : A --> B yakni f = fungsi

Contoh fungsi:

>> Fungsi Konstanta
y = b

>> Fungsi Konstanta
y = f(x)
y = ax + b
dimana y = variabel terikat
a = kemiringan/gradasi
x = variabel bebas
b = konstanta

>> F ungsi Kuadrat
y = ax^ + bx + c

HUBUNGAN FUNGSI
>> Fungsi Komposisi : penggabungan 2 fungsi atau lebih
Dilambangkan: fog(x) atau f(g(x)) : dibaca f komposisi g(x)
Operasi: fog(x) = f(g(x))
Contoh: f(x) = 3x - 6 dan g(x) = 8 - 2x
Maka :
fog(x) = f(g(x))
= 3(8 - 2x) - 6
= 24 - 6x - 6
= 18 - 6x
gof(x) = g(f(x))
= 8 - 2(3x - 6)
= 8 - 6x + 12
= 20 - 6x

>> Fungsi Invers : kebalikan dari fungsi, lambang f-1(x)
Contoh: f(x) = 3x - 6 dan g(x) = 8 - 2x
Maka :
:: f-1(x) = ?
f(x) = 3x - 6
y = 3x - 6
-3x = -6 - y
3x = 6 + y
x = 2 + 1/3y
f-1(x) = 2 + 1/3x

:: g-1(x) = ?
g(x) = 8 - 2x
y = 8 - 2x
2x = 8 - y
x = 4 - 1/2y
g-1(x) = 4 - 1/2x

:: fog-1(x) = ?
fog(x) = 18 - 6x
y = 18 - 6x
6x = 18 - y
x = 3 - 1/6y
fog-1(x) = 3 - 1/6x


Materi Kuliah Matematika Diskrit
Selasa, 21 Juli 2009
created by Jupren

Selengkapnya...

Relasi

Source: Relasi.pdf

>> Relasi = Hubungan

>> Lambang dari ReLasi R : A --> B
Bila A = {1,2,3} dan B = {p,q}, maka R : A --> B {(1,p), (1,q), (2,p), (2,q), (3,p), (3,q)}

>> Penyajian Relasi ada 4 macam yaitu:

1. Secara Matriks : disisi baris anggota A, disisi kolom anggota B
Misal Relasi R = {(1,p), (1,q), (2,q), (3,p)}











2. Diagram Panah









3. Grafik Kartesius/Titik Koordinat : dinyatakan dengan gambar dari titik koordinat.










4. Graf : dinyatakan dengan simpul yaitu lingkaran kecil berkabel anggota himpunan.












Materi Kuliah Matematika Diskrit
Selasa, 21 Juli 2009
created by Jupren

Selengkapnya...

Latihan Soal

Source code: Latihan Soal.pdf

1. Tulislah dalam bentuk tabular form ?
a. P = { x | x^ - 4x - 5 = 0}
b. Q = { x | x huruf dalam perkataan “masalah”}
c. R = { x | x2 = 16, 2x = -8}
d. S = { x | x adalah angka di dalam bilangan 132131}
Jawab:

a. P = {5}
b. Q = {m,a,s,l,h}
c. R = {-4}
d. S = {1,2,3}

2. Tentukan kardinal himpunan bagian A = {a,b,c,d} ?
Jawab:
B = {a, b, c, d} artinya n = 4 maka Kardinal = 24 = 16, yaitu:
{a}, {b}, {c}, {d}
{a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}
{a,b,c}, {a,b,d}, {b,c,d}, [c,d,a}
{a,b,c,d}, {}


3. Diketahui S = {b,d,e} A = {a,b,d} B = {b,d,e}, tentukan:
Jawab:
a. A U B = {a,b,d,e}
b. B n A = {b,d}
c. B’ = {}
d. B – A = {e}
e. A’ n B =
f. A U B’ = {a,b,d} U {} = {a,b,d}
g. A’ n B’ =
h. {A n B)’ = {b,d}’ = {e}
i. B’ – A’ =
j. {A U B)’ = {a,b,d,e}’ = {}


Materi Kuliah Matematika Diskrit
Selasa, 14 Juli 2009
created by Jupren

Selengkapnya...

Himpunan Bagian

Source code: Himpunan Bagian.pdf

>> Himpunan Bagian (C)
yaitu bagian dari suatu himpunan.
Misal:
A = {1, 2 , 3, 4}
B = {2, 4}
C = {1, 2, 3}
maka B C A; C C A


>> Kardinal dari Himpunan Bagian
yaitu banyaknya anggota himpunan bagian.
Rumus : 2n dimana n = banyak anggota himpunan
Misal:
A = (1, 2, 3}, artinya n=3
maka Kardinal = 23 = 8 = [{1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}, {}]

>> Diagram Pohon/Akar
yaitu himpunan terkecil ada pada paling bawah.
Misal:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A = {1, 2 , 3, 4}
B = {2, 4}
C = {1, 2, 3}
maka diagram pohon sbb:
Tentukan diagram pohon bila diketahui himpunan sbb:
V = {d}
W = {c, d}
X = {a, b, c}
Y = {a, b}
Z = {a, b, d}
Jawab:


Materi Kuliah Matematika Diskrit
Selasa, 07 Juli 2009
created by Jupren Selengkapnya...

Operasi Himpunan

Himpunan Semesta (S;U) yaitu seluruh anggota himpunan yang dibicarakan.
S = {1,2,3,4,5,6,7,...}

Diagram Venn yaitu penggambaran himpunan, dimana:
• himpunan semesta dengan persegi panjang
• bagian dari himpunan dengan lingkaran

Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota.
Lambang Ø : { }


>>Operasi Himpunan
1. Gabungan/Union (U) yaitu menggabungkan 2 himpunan atau lebih.
Contoh:
S = {1,2,3,4,5,.....13}
A = {1,2,3,5,7,9,10}
B = {2,4,5,6,8,10,12}
C = {1,2,3,4,5,6,7,11}
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12}
B U C = {1,2,3,4,5,6,7,8,10,12}
A U B U C = {1,2,3,...12}

2. Irisan/Intersection (n) yaitu anggota milik bersama.
Contoh:
A n B = {2,5,10}
A n C = {1,2,3,5,7}
A n B n C = {2,5}

3. Selisih (–) yaitu anggota yang ada hanya pada yang dikurangi.
Contoh:
A – B = {1,3,7,9}
B – A = {4,6,8,12}
C – A = {4,6,11}
A – S = Ø
A – Ø = A

4. Komplemen dari himpunan (A’) yaitu yang bukan dari himpunan yang dimaksud.
Contoh:
A’ = {4,6,8,11,12,13}
B’ = {1,3,7,9,11,13}
(A U B U C)’ = {13}
(A n B n C)’ = {1,3,6,7,...13}
A-B’ = {2,4,5,6,8,10,11,12,13}



Materi Kuliah Himpunan - Matematika Diskrit
Selasa, 30 Juni 2009
Source by Drs. Riswan edited by Jupren

Selengkapnya...

Matematika Diskrit

Rasa ingin tahu adalah ibu dari semua ilmu pengetahuan. Tak kenal maka tak sayang, tak sayang maka tak cinta.

Apakah matematika diskrit itu? Cabang matematika yang mengkaji objek2 diskrit. Sebuah objek dikatakan diskrit [discrete] jika objek tersebut terdiri dari sejumlah elemen yang berbeda dan elemen2 tsb tidak bersambungan [unconnected].

Secara garis besar, materi yang dipelajari dalam matematika diskrit meliputi:

• Himpunan
• Fungsi
• Logika
• Grafik

>>Himpunan
1. Pengertian

Himpunan adalah kumpulan dari objek2 yang mempunyai karakteristik tertentu.

Contoh:
a. A = {1,2,3,4,5}, Himpunan A adalah bilangan bulat lebih kecil dari 5
b. B = {a,i,u,e,o}, Himpunan B adalah huruf-huruf hidup
c. C = {x | mhs TI smt3 kls malam}, himpunan C dimana x adalah mahasiswa TI semester 3 kelas malam

2. Syarat penulisan
a. Nama himpunan diawali dengan huruf besar
b. Anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil
c. Himpunan dibatasi dengan kurung kurawal {}

3. Bentuk tulisan
a. Tabular Form: menyebutkan semua anggota dalam himpunan
Contoh: A = {1,2,3,4,5,6,7}
B = {a,I,u,e,o}
b. Set Builder Form: menyimbolkan anggota dalam himpunan
Contoh:
A = {x | <8, x € bil asli} atau A = {x | x 0 < x ≤ 7}
B = {x | huruf vokal} atau B = { x | huruf hidup}


Materi Kuliah Himpunan - Matematika Diskrit
Selasa, 23 Juni 2009
Source by Drs. Ridwan edited by Jupren

Selengkapnya...