Presentil (p)

Nilai yang membagi gugus data yang telah disortir (ascending) menjadi 100 (seratus) bagian sama besar.

• Letak presentil = [p . n] : 100, dimana n adalah banyaknya data.
• Kelas presentil ke p = kelas dimana presentil berada, didapat dengan membandingkan letak presentil dengan frekuensi komulatif.
• Presentil ke p:
  TBB Kelas Presentil ke p + i [s : fp] atau TBA Kelas Presentil ke p – i [s’ : fp]
  dimana:
  fp = frekuensi presentil
  s = selisih antara letak presentil dengan frekuensi komulatif sebelum kelas presentil
  s’ = selisih antara letak presentil dengan frekuensi komulatif sampai kelas presentil (harus posotif)
• Contoh: tentukan presentil ke 32 dan ke 74 dari TDF di bawah ini:
  kelas f fk
  16 – 23 10 10
  24 – 31 17 27
  32 – 39 7 34
  40 – 47 10 44
  48 – 55 3 46
  56 – 63 3 50

jawaban:
i = 8, k = 6

Presentil ke-32:

• Letak presentil = [32 . 50] : 100 = 16
• Kelas presentil = 24 – 31 [memiliki frekuensi komulatif 27]
• TBB = 23,5
• TBA = 31,5
• fp = 17
• s = 16 – 10 = 6
• s’ = 16 – 27 = 11
  

Cara 1:
p-32 = TBB + i [s : fp]
= 23,5 + 8 [6 : 17]
= 23,5 + 8 . 0,353
= 23,5 + 2,824
= 26,324

Cara 2:
p-32 = TBA – i [s’ : fp]
= 31,5 – 8 [11 : 17]
= 31,5 – 8 . 0,647
= 31,5 – 5,176
= 26,324

Jadi nilai presentil ke 32 dalah 26,324


Presentil ke-74:

• Letak presentil = [74 . 50] : 100 = 37
• Kelas presentil = 40 – 47 [memiliki frekuensi komulatif 44]
• TBB = 39,5
• TBA = 47,5
• fp = 10
• s = 37 – 34 = 3
• s’ = 37 – 44 = 7
  

Cara 1:
p-74 = TBB + i [s : fp]
= 39,5 + 8 [3 : 10]
= 39,5 + 8 . 0,3
= 39,5 + 2,4
= 41,9

Cara 2:
p-74 = TBA – i [s’ : fp]
= 47,5 – 8 [7 : 10]
= 47,5 – 8 . 0,7
= 47,5 – 5,6
= 41,9

Jadi nilai presentil ke 74 adalah 41,9



Materi Kuliah Statitik I
Selasa, 09 Februari 2010

Selengkapnya...

Desil (d)

yaitu nilai yang membagi gugus data yang telah disortir (ascending) menjadi 10 (sepuluh) bagian sama besar.

• Letak desil = [d . n] : 10, dimana n adalah banyaknya data.
• Kelas desil ke d = kelas dimana desil berada, didapat dengan membandingkan letak desil dengan frekuensi komulatif.
• Desil ke d:
  TBB Kelas Desil ke d + i [s : fd] atau TBA Kelas Desil ke d – i [s’ : fd]
  dimana:
  fd = frekuensi desil
  s = selisih antara letak desil dengan frekuensi komulatif sebelum kelas desil
  s’ = selisih antara letak desil dengan frekuensi komulatif sampai kelas desil (harus posotif)
• Contoh: tentukan desil ke 1 dan ke 3 dari TDF di bawah ini:
  kelas f fk
  16 – 23 10 10
  24 – 31 17 27
  32 – 39 7 34
  40 – 47 10 44
  48 – 55 3 46
  56 – 63 3 50
  

Jawaban:
i = 8, k = 6
Desil ke-5:

• Letak desil = [5 . 50] : 10 = 25
• Kelas desil = 24 – 31 [memiliki frekuensi komulatif 27]
• TBB = 23,5
• TBA = 31,5
• fd = 17
• s = 25 – 10 = 15
• s’ = 25 – 27 = 2
  

Cara 1:
d-5 = TBB + i [s : fd]
= 23,5 + 8 [15 : 17]
= 23,5 + 8 . 0,882
= 23,5 + 7,056
= 30,556

Cara 2:
d-5 = TBA – i [s’ : fd]
= 31,5 – 8 [2 : 17]
= 31,5 – 8 . 0,118
= 31,5 – 0,944
= 30,556

Jadi nilai desil ke 5 adalah 30,556



Desil ke-8:

• Letak desil = [8 . 50] : 10 = 40
• Kelas kuartil = 40 – 47 [memiliki frekuensi komulatif 44]
• TBB = 39,5
• TBA = 47,5
• fd = 10
• s = 40 – 34 = 6
• s’ = 40 – 44 = 4
  

Cara 1:
d-8 = TBB + i [s : fd]
= 39,5 + 8 [6 : 10]
= 39,5 + 8 . 0,6
= 39,5 + 4,8
= 44,3

Cara 2:
d-8 = TBA – i [s’ : fd]
= 47,5 – 8 [4 : 10]
= 47,5 – 8 . 0,4
= 47,5 – 3,2
= 44,3

Jadi nilai desil ke 8 adalah 44,3



Materi Kuliah Statistik I
Selasa, 09 Febrauri 2010

Selengkapnya...

Kuartil [q]

yaitu nilai yang membagi gugus data yang telah disortir (ascending) menjadi 4 (empat) bagian sama besar.

• Letak kuartil = [q . n] : 2, dimana n adalah banyaknya data.
• Kelas kuartil ke q = kelas dimana kuartil berada, didapat dengan membandingkan letak kuartil dengan frekuensi komulatif.
• Kuartil ke q: TBB Kelas Kuartil ke q + i [s : fq] atau TBA Kelas Kuartil ke q – i [s’ : fq]
  dimana:
  fq = frekuensi kuartil
  s = selisih antara letak kuartil dengan frekuensi komulatif sebelum kelas kuartil
  s’ = selisih antara letak kuartil dengan frekuensi komulatif sampai kelas kuartil (harus positif)
  
• Contoh: tentukan kuartil ke 1 dan ke 3 dari TDF di bawah ini:
  kelas f fk
  16 – 23 10 10
  24 – 31 17 27
  32 – 39 7 34
  40 – 47 10 44
  48 – 55 3 46
  56 – 63 3 50

jawaban:
i = 8, k = 6
Kuartil ke-1:

• Letak kuartil = [1 . 50] : 4 = 12,5
• Kelas kuartil = 24 – 31 [memiliki frekuensi komulatif 27]
• TBB = 23,5
• TBA = 31,5
• fq = 17
• s = 12,5 – 10 = 2,5
• s’ = 12,5 – 27 = 14,5
  

Cara 1:
q-1 = TBB + i [s : fq]
= 23,5 + 8 [2,5 : 17]
= 23,5 + 8 . 0,147
= 23,5 + 1,176
= 24,676

Cara 2:
q-1 = TBA – i [s’ : fq]
= 31,5 – 8 [14,5 : 17]
= 31,5 – 8 . 0,853
= 31,5 – 6,824
= 24,676

jadi nilai kuartil ke 1 adalah 24,676


Kuartil ke-3:

• Letak kuartil = [3 . 50] : 4 = 37,5
• Kelas kuartil = 40 – 47 [memiliki frekuensi komulatif 44]
• TBB = 39,5
• TBA = 47,5
• fq = 10
• s = 37,5 – 34 = 3,5
• s’ = 37,5 – 44 = 6,5
  

Cara 1:
q-3 = TBB + i [s : fq]
= 39,5 + 8 [3,5 : 10]
= 39,5 + 8 . 0,35
= 39,5 + 2,8
= 42,3

Cara 2:
q-3 = TBA – i [s’ : fq]
= 47,5 – 8 [6,5 : 10]
= 47,5 – 8 . 0,65
= 47,5 – 5,2
= 42,3

Jadi nilai kuartil ke 3 adalah 42,3


Mata Kuliah Statistik I
Selasa, 09 Februari 2010

Selengkapnya...

Latihan Ukuran Statistik

Tentukan mean, modus da median dari tabel distribusi frekuensi dibawah ini?
kelas f
12 – 16 12
17 – 21 3
22 – 26 15
27 – 31 10
32 – 36 4
37 – 41 8
42 – 46 7

Jawab:
i = 5 dan k = 7
TDF

a. Mean
xi = [12 + 16] : 2 = 28 : 2 = 14
M = [12 + 46] : 2 = 58 : 2 = 29
Cara langsung:
X- = ∑ fi.Xi : ∑ fi
= 1631 : 59
= 27,644

Cara pendugaan:
X- = M + [(∑ fi . di) : n]
= 29 + [(-80) : 59]
= 29 + (-1,356)
= 27,644

Jadi mean = 27,644


b. Modus
Kelas modus = 22 – 26
TBB = 21,5
d1 = 15 - 3 = 12
d2 = 15 - 10 = 5
Mo = TBB + i [d1 : (d1 + d2)]
= 21,5 + 5 [12 : (12 + 5)]
= 21,5 + 5 [12 : 17]
= 21,5 + 5 . 0,706
= 21,5 + 3,529
= 25,029
Jadi modus = 25,029


c. Median
Letak median = 59 : 2 = 29,5
Kelas median = 22 – 26 [memiliki frekuensi komulatif 30]
TBB = 21,5
TBA = 26,5
fme = 15
s = 29,5 – 15 = 14,5
s’ = 29,5 – 30 = 0,5
Cara 1:
Me = TBB + i (s : fme)
= 21,5 + 5 (14,5 : 15)
= 21,5 + 5 . 0,967
= 21,5 + 4,835
= 26,335

Cara 2:
Me = TBA – i (s’ : fme)
= 26,5 – 5 (0,5 : 15)
= 26,5 – 5 . 0,033
= 26,5 – 0,165
= 26,335

Jadi median = 26,335



Mata Kuliah Statistik I
Selasa, 02 Februari 2010

Selengkapnya...

Ukuran Statistik [Bab Median]

Median [Me]

Yakni nilai yang membagi dua gugus data yang telah disortir (ascending) menjadi dua bagian yang sama besar.

Median untuk Data Tidak Berkelompok

• Letak Median --> letak median dalam gugus data yang telah disortir.
• Contoh soal:
  1. Tinggi badan mahasiswa (dalam m): 1,75; 1,78; 1,60; 1,73; 1,78
  Jawab:
  Data disortir: 1,60; 1,73; 1,75; 1,78; 1,78
  Maka median = 1,75
  2. Berat badan mahasiswa (dalam kg): 60,5; 55,78; 62,8; 58,7; 61,3; 59,5
  Jawab:
  Data disortir: 55,78; 58,7; 59,5; 60,5; 61,3; 62,8
  Maka median = [59,5 + 60,5] : 2 = 60

Median untuk Data Berkelompok

• Letak Median --> n : 2, dimana n adalah banyaknya data.
• Kelas Median --> kelas dimana median berada, didapat dengan membandingkan letak median dengan frekuensi komulatif.
• Median = TBB Kelas Median + i (s : fme) atau TBA Kelas Median - i (s’ : fme)
  dimana:
  TBB = Tepi Batas Bawah dan TBA = Tepi Batas Atas
  i = interval
  fme = frekuensi median
  s = selisih antara letak median dengan frekuensi komulatif sebelum kelas median
  s’ = selisih antara letak median dengan frekuensi komulatif pada kelas median [harus positif]
• Contoh Soal : Tentukan median dari data berkelompok sebagai berikut:
  kelas f
  16 – 23 10
  24 – 31 17
  32 – 39 7
  40 – 47 10
  48 – 55 3
  56 – 63 3

jawabannya:

• Letak median = n : 2 = 50 : 2 = 25
• Kelas median = 24 – 31 [dilihat bukan dari kelas interval, TAPI dilihat dari frekuensi komulatif. Pada kelas 24 – 31 memiliki frekuensi komulatif 27, artinya nilai ini adalah 11-27. Jadi letak median 25 berada diantara 11-27.
• TBB = 23,5
• TBA = 31,5
• fme = 17
• s = 25 - 10 = 15
• s’ = 25 - 27 = 2
  

Cara1:
Me = TBB + i (s : fme)
= 23,5 + 8 (15 : 17)
= 23,5 + 8 (0,882)
= 23,5 + 7,056
= 30,556

Cara2:
Me = TBA – i (s’ : fme)
= 31,5 – 8 (2 : 17)
= 31,5 – 8 (0,118)
= 31,5 – 0,944
= 30,556

Jadi nilai median = 30,556



Mata Kuliah Statistik I
Selasa, 02 Februari 2010

Selengkapnya...

Metode Newton Raphson

• Menentukan akar persamaan non linear menggunakan metode Newton Raphson dengan interval yang memuat akar [x0, x1].
• Metode ini akan manghasilkan garis singgung di titik P(x1 ; f(x1)) dan garis akan memotong sumbu x di titik x2.

Persamaan garis singgung: y – f(x1) = f’ (x1) (x – x1) dan x2 = x1 – [f(x) : f’(x)]
Mungkin perlu diingat

• Persamaan garis singgung: y – y1 = m(x – x1)

• Turunan differensial y = a . n --> y’ = a . n . x^n-1
  Contoh: y = 5x^3 – 7x^2 + 8x + 10 --> y’ = 15x^2 – 14x + 8

Cara menentukan interval nya:

1. Tentukan x1 sebagai pendekatan awal (untuk tingkat pertama, bebas).
2. Tentukan nilai f(x1)
3. Tentukan turunan differensial f’(x) [dibaca f aksen x] dari persamaan non linear f(x) dan cari nilainya
4. Tentukan x2
5. Tulis interval-nya [ilustrasi menentukan interval seperti metode sekan]
   

Contoh Soal:
Tentukan akar dari f(x) = x^3 – 2x – 5 dengan metode Newton Raphson
Jawab:
1. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat pertama

• Menentukan nilai x0 dan x1 (kita ambil nilai sembarang)
  x0 = 2 dan x1 = 3
  
• Menentukan f(x1)
  f(x1) = x^3 – 2x – 5
  f(3) = 3^3 – 2.3 – 5 = 27 – 6 – 5 = 16
  
• Menentukan turunan f’(x) dan nilainya
  f(x) = x^3 – 2x – 5 --> f’(x) = 3x^2 – 2
  f’(3) = 3 . 3^2 – 2 = 27 – 2 = 25
  
• Menentukan x2
  x2 = x1 – [f(x) : f’(x)] = 3 – [16 : 25] = 3 – 0,64 = 2,36
  
• Menentukan interval
  Akar x2 lebih dekat dengan x0. Maka intervalnya adalah [x0 ; x2] yaitu [2 ; 2,36]
  

2. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat kedua

• Menentukan nilai x0 dan x1 (kita ambil dari interval langkah satu)
  x0 = 2 dan x1 = 2,36
  
• Menentukan f(x1)
  f(2,36) = (2,36)^3 – 2 . (2,36) – 5 = 13,144 – 4,72 – 5 = 3,424
  
• Menentukan nilainya f’(x)
  f’(2,36) = 3 . (2,36)^2 – 2 = 16,709 – 2 = 14,709
  
• Menentukan x2
  x2 = 2,36 – [3,424 : 14,709] = 2,36 – 0,233 = 2,127
  
• Menentukan interval
  Akar x2 lebih dekat dengan x0. Maka intervalnya adalah [x0 ; x2] yaitu [2 ; 2,127]

3. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat ketiga

• Menentukan nilai x0 dan x1 (kita ambil dari interval langkah kedua)x
  x0 = 2 dan x1 = 2,127
  
• Menentukan f(x1)
  f(2,127) = (2,127)^3 – 2 . (2,127) – 5 = 9,623 – 4,254 – 5 = 0,369
  
• Menentukan nilainya f’(x)
  f’(2,127) = 3 . (2,127)^2 – 2 = 13,572 – 2 = 11,572
  
• Menentukan x2
  x2 = 2,127 – [0,369 : 11,572] = 2,127 – 0,032 = 2,095
  
• Menentukan interval
  Akar x2 lebih dekat dengan x1. Seharusnya intervalnya adalah [x2 ; x1] yaitu [2,095 ; 2,127]. Karena nantinya x1 (nilai 2,127) menjadi sama dengan tingkat kedua maka interval yang benar adalah [2 ; 2,095].
  

4. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat keempat

• Menentukan nilai x0 dan x1 (kita ambil dari interval langkah ketiga)
  x0 = 2 dan x1 = 2,095
  
• Menentukan f(x1)
  f(2,095) = (2,095)^3 – 2 . (2,095) – 5 = 9,195 – 4,19 – 5 = 0,005
  
• Menentukan nilainya f’(x)
  f’(2,095) = 3 . (2,095)^2 – 2 = 13,167 – 2 = 11,165
  
• Menentukan x2
  x2 = 2,095 – [0,005 : 11,165] = 2,095 – 0,0005 = 2,0945
  
• Menentukan interval
  Akar x2 lebih dekat dengan x1. Seharusnya intervalnya adalah [x2 ; x1] yaitu [2,0945 ; 2,095]. Karena nantinya x1 (nilai 2,095) menjadi sama dengan tingkat ketiga maka interval yang benar adalah [2 ; 2,0945].

Materi Kuliah Metode Numerik
Rabu, 27 Januari 2010

Selengkapnya...

Ukuran Statistik [Modus]

Modus [Mo]

• Nilai yang sering muncul
• Nilai yang frekuensinya paling banyak.
  

Modus untuk Data Tidak Berkelompok

1. Sumbangan PMI untuk warga Jakarta Pusat dalam rupiah: 8000, 7500, 8000, 9000, 8000, 3000, 5000
   Maka Mo = 8000
   
   
2. Berat bayi dalam kilogram: 3,6; 3,5; 2,9; 3,1; 3,0
   Maka Mo = tidak ada
   
   
3. Umur mahasiswa dalam tahun: 19, 18, 19, 18, 23, 21, 19, 21, 18, 20, 22, 17
   Maka Mo = 18 dan 19

Modus untuk Data Berkelompok

• Kelas Modus --> kelas dimana modus berada atau kelas dengan frekuensi tertinggi.
• Modus = TBB Kelas Modus + i (d1 : [d1 + d2])
  Dimana:
  TBB = Tepi Batas Bawah
  i = interval
  d1 = beda frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya
  d2 = beda frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya
  
  
• Mungkin perlu diingat:
  Misal ada kelas 16 – 23 (dibaca 16 sampai dengan 23)
  maka:
  Batas Bawah (BB) = 16
  Batas Atas (BA) = 23
  Tepi Batas Bawah (TBB) = (15+16) : 2 =15,5
  Tepi Batas Atas (TBA) = (23+24) : 2 = 23,5
  
  

Contoh Soal : Tentukan modus dari data berkelompok sebagai berikut:

kelas f
16 – 23 10
24 – 31 17
32 – 39 7
40 – 47 10
48 – 55 3
56 – 63 3

jawabannya:

• Kelas modus = 24 – 31
• TBB = 23,5
• d1 = 17 - 10 = 7
• d2 = 17 - 7 = 10
  

Maka:
Mo = TBB + i (d1 : [d1 + d2])
= 23,5 + 8 (7 : [7 + 10])
= 23,5 + 8 (0,412)
= 23,5 + 3,296
= 26,796




Mata Kuliah Statistik I
Selasa, 26 Januari 2010

Selengkapnya...