Metode Newton Raphson

• Menentukan akar persamaan non linear menggunakan metode Newton Raphson dengan interval yang memuat akar [x0, x1].
• Metode ini akan manghasilkan garis singgung di titik P(x1 ; f(x1)) dan garis akan memotong sumbu x di titik x2.

Persamaan garis singgung: y – f(x1) = f’ (x1) (x – x1) dan x2 = x1 – [f(x) : f’(x)]
Mungkin perlu diingat

• Persamaan garis singgung: y – y1 = m(x – x1)

• Turunan differensial y = a . n --> y’ = a . n . x^n-1
  Contoh: y = 5x^3 – 7x^2 + 8x + 10 --> y’ = 15x^2 – 14x + 8

Cara menentukan interval nya:

1. Tentukan x1 sebagai pendekatan awal (untuk tingkat pertama, bebas).
2. Tentukan nilai f(x1)
3. Tentukan turunan differensial f’(x) [dibaca f aksen x] dari persamaan non linear f(x) dan cari nilainya
4. Tentukan x2
5. Tulis interval-nya [ilustrasi menentukan interval seperti metode sekan]
   

Contoh Soal:
Tentukan akar dari f(x) = x^3 – 2x – 5 dengan metode Newton Raphson
Jawab:
1. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat pertama

• Menentukan nilai x0 dan x1 (kita ambil nilai sembarang)
  x0 = 2 dan x1 = 3
  
• Menentukan f(x1)
  f(x1) = x^3 – 2x – 5
  f(3) = 3^3 – 2.3 – 5 = 27 – 6 – 5 = 16
  
• Menentukan turunan f’(x) dan nilainya
  f(x) = x^3 – 2x – 5 --> f’(x) = 3x^2 – 2
  f’(3) = 3 . 3^2 – 2 = 27 – 2 = 25
  
• Menentukan x2
  x2 = x1 – [f(x) : f’(x)] = 3 – [16 : 25] = 3 – 0,64 = 2,36
  
• Menentukan interval
  Akar x2 lebih dekat dengan x0. Maka intervalnya adalah [x0 ; x2] yaitu [2 ; 2,36]
  

2. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat kedua

• Menentukan nilai x0 dan x1 (kita ambil dari interval langkah satu)
  x0 = 2 dan x1 = 2,36
  
• Menentukan f(x1)
  f(2,36) = (2,36)^3 – 2 . (2,36) – 5 = 13,144 – 4,72 – 5 = 3,424
  
• Menentukan nilainya f’(x)
  f’(2,36) = 3 . (2,36)^2 – 2 = 16,709 – 2 = 14,709
  
• Menentukan x2
  x2 = 2,36 – [3,424 : 14,709] = 2,36 – 0,233 = 2,127
  
• Menentukan interval
  Akar x2 lebih dekat dengan x0. Maka intervalnya adalah [x0 ; x2] yaitu [2 ; 2,127]

3. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat ketiga

• Menentukan nilai x0 dan x1 (kita ambil dari interval langkah kedua)x
  x0 = 2 dan x1 = 2,127
  
• Menentukan f(x1)
  f(2,127) = (2,127)^3 – 2 . (2,127) – 5 = 9,623 – 4,254 – 5 = 0,369
  
• Menentukan nilainya f’(x)
  f’(2,127) = 3 . (2,127)^2 – 2 = 13,572 – 2 = 11,572
  
• Menentukan x2
  x2 = 2,127 – [0,369 : 11,572] = 2,127 – 0,032 = 2,095
  
• Menentukan interval
  Akar x2 lebih dekat dengan x1. Seharusnya intervalnya adalah [x2 ; x1] yaitu [2,095 ; 2,127]. Karena nantinya x1 (nilai 2,127) menjadi sama dengan tingkat kedua maka interval yang benar adalah [2 ; 2,095].
  

4. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat keempat

• Menentukan nilai x0 dan x1 (kita ambil dari interval langkah ketiga)
  x0 = 2 dan x1 = 2,095
  
• Menentukan f(x1)
  f(2,095) = (2,095)^3 – 2 . (2,095) – 5 = 9,195 – 4,19 – 5 = 0,005
  
• Menentukan nilainya f’(x)
  f’(2,095) = 3 . (2,095)^2 – 2 = 13,167 – 2 = 11,165
  
• Menentukan x2
  x2 = 2,095 – [0,005 : 11,165] = 2,095 – 0,0005 = 2,0945
  
• Menentukan interval
  Akar x2 lebih dekat dengan x1. Seharusnya intervalnya adalah [x2 ; x1] yaitu [2,0945 ; 2,095]. Karena nantinya x1 (nilai 2,095) menjadi sama dengan tingkat ketiga maka interval yang benar adalah [2 ; 2,0945].

Materi Kuliah Metode Numerik
Rabu, 27 Januari 2010

Selengkapnya...

Metode Sekan

• Menentukan akar persamaan non linear menggunakan metode sekan dengan interval yang memuat akar [x0, x1]

• Titik x2 ditentukan:
  x2 = x1 – P . f(x1) dimana P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
• Metode ini tidak melakukan penjepitan akar. Artinya akar x2 bisa jadi terletak disamping kiri x0, samping kanan x1 atau diantara x1 dan x0. Intinya, akar lain yang paling dekat dengan x2 adalah interval pasangan x2.
• Ilustrasi menentukan interval metode sekan:
  

a. x2 disebelah kiri x0

b. x2 disebelah kanan x1

c. x2 diantara x1 dan x0



Contoh soal: Tentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 dengan metode sekan
Jawab:

1. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat pertama
   
   • Menentukan nilai x0 dan x1 (sembarang, misal x0 = 1 dan x1 = 2)
     
   • Menentukan f(x0) dan f(x1)
     x0 = 1 --> f(x0) = f(1) = -6
     x1 = 2 --> f(x1) = f(2) = -1
     
   • Menentukan P
     P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
     = [2 – 1] : [(-1) – (-6)]
     = 1 : 5
     = 0,2
     
   • Menentukan x2
     x2 = x1 – P . f(x1)
     = 2 – [0,2 . (-1)]
     = 2 – (-0,2)
     = 2,2
     
   • Menentukan interval
     Akar x2 terletak di sebelah kanan x2. Maka intervalnya adalah [x1 ; x2] yaitu [2 ; 2,2]
   
   
   
2. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat dua
   
   • Menentukan nilai x0 dan x1 (mengambil nilai dari interval tingkat pertama)
     x0 = 2 dan x1 = 2,2
     
   • Menentukan f(x0) dan f(x1)
     x0 = 2 --> f(x0) = f(2) = -1
     x1 = 2,2 --> f(x1) = f(2,2) = 1,248
     
   • Menentukan P
     P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
     = [2,2 – 2] : [1,248 – (-1)]
     = 0,2 : 2,248
     = 0,0890
     
   • Menentukan x2
     x2 = x1 – P . f(x1)
     = 2,2 – [0,0890 . 1,248]
     = 2,2 – 0,111
     = 2,0889
     
   • Menentukan interval
     Akar x2 terletak di antara x0 dan x1. Karena harga x2 lebih dekat dengan harga x0 maka intervalnya adalah [x0 ; x2] yaitu [2 ; 2,0890]
   
   
   
3. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat tiga
   
   • Menentukan nilai x0 dan x1 (mengambil nilai dari interval tingkat dua)
     x0 = 2 dan x1 = 2,0890
     
   • Menentukan f(x0) dan f(x1)
     x0 = 2 --> f(x0) = f(2) = -1
     x1 = 2,0890 --> f(x1) = f(2,0890) = -0,0618
     
   • Menentukan P
     P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
     = [2,0890 – 2] : [(-0,0618) – (-1)]
     = 0,0890 : 0,9382
     = 0,0949
     
   • Menentukan x2
     x2 = x1 – P . f(x1)
     = 2,0890 – [0,0949 . (-0,0618)]
     = 2,0890 – 0,0059
     = 2,0949
     
   • Menentukan interval
     Akar x2 terletak di antara x0 dan x1. Karena harga x2 lebih dekat dengan harga x0 maka intervalnya adalah [x0 ; x2] yaitu [2 ; 2,0949]
   
   
   
4. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat empat
   
   • Menentukan nilai x0 dan x1 (mengambil nilai dari interval tingkat tiga)
     x0 = 2 dan x1 = 2,0949
     
   • Menentukan f(x0) dan f(x1)
     x0 = 2 --> f(x0) = f(2) = -1
     x1 = 2,0949 --> f(x1) = f(2,0949) = 0,0039
     
   • Menentukan P
     P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
     = [2,0949 – 2] : [0,0039 – (-1)]
     = 0,0949 : 1,0039
     = 0,0945
     
   • Menentukan x2
     x2 = x1 – P . f(x1)
     = 2,0949 – [0,0945 . 0,0039]
     = 2,0949 – 0,0004
     = 2,0945
     
   • Menentukan interval
     Akar x2 terletak di antara x0 dan x1. Karena harga x2 lebih dekat dengan harga x0 maka intervalnya adalah [x0 ; x2] yaitu [2 ; 2,0945]
   
   

Materi Kuiah Metode Numerik
Rabu, 13 Januari 2010

Selengkapnya...

Metode Regulafalsi

• Menentukan akar persamaan non linear menggunakan metode regulafalsi dengan interval yang memuat akar [x0, x1].
• Titik x2 ditentukan
  x2 = x1 – P . f(x1) dimana P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
• Menentukan intervalnya
  
  1. o Jika f(x0) . f(x2) < x1 =" x2"> intervalnya [x0, x2]
  2. Jika f(x0) . f(x2) > 0 maka x0 = x2 --> intervalnya [x2, x1]
  3. Jika f(x0) . f(x2) = 0 maka x0 atau x1 adalah akarnya.

Contoh soal:

Tentukan akar f(x) = 2x^3 – 5x^2 – 7 dengan metode regulafalsi
Jawab:

1. Menentukan akar f(x) = 2x^3 – 5x^2 – 7 tingkat satu
   
   • Menentukan x0 dan x1
     x0 = 2,8 dan x1 = 3x
     
   • Menentukan f(x0) dan f(x1)
     x0 = 2,8 --> f(x0) = f(2,8) = -2,296
     x1 = 3 --> f(x1) = f(3) = 2
     
   • Menentukan P
     P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
     = [3 – 2,8] : [2 – (-2,296)]
     = 0,2 : 4,296
     = 0,0465
     
   • Menentukan x2
     x2 = x1 – P . f(x1)
     = 3 – [0,0465 . 2]
     = 3 – 0,093
     = 2,907
     
   • Menentukan f(x2)
     x2 = 2,907 --> f(x2) = f(2,907) = -0,1212
     
   • Menentukan perkalian f(x0) . f(x2)
     f(x0) . f(x2) = (-2,296) . (-0,1212) = (+) 0,2837
     
   • Menentukan interval
     Harga f(x0) . f(x2) > 0, maka x0 diganti x2, jadi intervalnya [2,907 ; 3]
     
     
2. Menentukan akar f(x) = 2x^3 – 5x^2 – 7 tingkat dua
   
   • Menentukan x0 dan x1
     x0 = 2,907 dan x1 = 3
     
   • Menentukan f(x0) dan f(x1)
     x0 = 2,907 --> f(x0) = f(2,907) = -0,1212
     x1 = 3 --> f(x1) = f(3) = 2
     
   • Menentukan P
     P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
     = [3 – 2,907] : [2 – (-0,1212)]
     = 0,093 : 2,1212
     = 0,04384
     
   • Menentukan x2
     x2 = x1 – P . f(x1)
     = 3 – [0,04384 . 2]
     = 3 – 0,0877
     = 2,9123
     
   • Menentukan f(x2)
     x2 = 2,912 --> f(x2) = f(2,9123) = -0,0062
     
   • Menentukan perkalian f(x0) . f(x2)
     f(x0) . f(x2) = (-0,1212) . (-0,0062) = (+) 0,0007
     
   • Menentukan interval
     Harga f(x0) . f(x2) > 0, maka x0 diganti x2, jadi intervalnya [2,9123 ; 3]
     
     
3. Menentukan akar f(x) = 2x^3 – 5x^2 – 7 tingkat tiga
   
   • Menentukan x0 dan x1
     x0 = 2,9123 dan x1 = 3
     
   • Menentukan f(x0) dan f(x1)
     x0 = 2,9123 --> f(x0) = f(2,9123) = -0,0062
     x1 = 3 --> f(x1) = f(3) = 2
     
   • Menentukan P
     P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
     = [3 – 2,9123] : [2 – (-0,0062)]
     = 0,0877 : 2,0062
     = 0,04372
     
   • Menentukan x2
     x2 = x1 – P . f(x1)
     = 3 – [0,04372 . 2]
     = 3 – 0,0874
     = 2,9126
     
   • Menentukan f(x2)
     x2 = 2,9126 --> f(x2) = f(2,9126) = 0,00037
     
   • Menentukan perkalian f(x0) . f(x2)
     f(x0) . f(x2) = (-0,0062) . (0,00037) = (-) 0,0000023
     
   • Menentukan interval
     Harga f(x0) . f(x2) < style="font-weight: bold;">2,9123 ; 2,9126]
     
     
4. Menentukan akar f(x) = 2x^3 – 5x^2 – 7 tingkat empat
   
   • Menentukan x0 dan x1
     x0 = 2,9123 dan x1 = 2,9126
     
   • Menentukan f(x0) dan f(x1)
     x0 = 2,9123 --> f(x0) = f(2,9123) = -0,0062
     x1 = 2,9126 --> f(x1) = f(2,9126) = 0,0004
     
   • Menentukan P
     P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
     = [2,9126 – 2,9123] : [0,0004 – (-0,0062)]
     = 0,0003 : 0,0066
     = 0,0455
     
   • Menentukan x2
     x2 = x1 – P . f(x1)
     = 2,9126 – [0,0455 . 0,0004]
     = 2,9126 – 0,00002
     = 2,91258
     
   • Menentukan f(x2)
     x2 = 2,91258 --> f(x2) = f(2,91258) = -0,0000668
     
   • Menentukan perkalian f(x0) . f(x2)
     f(x0) . f(x2) = (-0,0062) . (-0,0000668) = (+) 0,0000004
     
   • Menentukan interval
     Harga f(x0) . f(x2) > 0, maka x0 diganti x2, jadi intervalnya [2,91258 ; 2,9126]
     
     
     

Materi Kuliah Metode Numerik
Rabu, 13 Januari 2010

Selengkapnya...

Akar-akar Persamaan Non Linear

Untuk fungsi yang berderajat 3 (tiga) atau lebih

• Contoh:
  f(x) = 2x^3 – 5x^2 -7
  f(x) = 4x^2 – 2x
  
  
• Mencari akar persamaan non linear dengan menggunakan kamputer/kalkulator.
  
  
• Dengan menggunakan interval yang akan kita tentukan [10 ; 10]. Kemudian dari hasil f(x) yang di dapat, kita ambil yang mempunyai harga positif dan negatif.
  

Contoh Soal
Tentukan interval akar-akar persamaan non linear f(x) = 2x^3 – 5x^2 – 7
jawab:
1. Beda 2
Maka interval nya: [2 ; 4]

2. Beda 0,2
Maka interval nya: [2,8 ; 3,0]

3. Beda 0,02
Maka interval nya: [2,90 ; 2,92]

4. Beda 0,002
Maka interval nya: [2,912 ; 2,914]



Materi Kuliah Metode Numerik
Rabu, 13 Desember2009

Selengkapnya...

Akar-akar Persamaan Linear

Persamaan Linear Pangkat 1 (Satu)

• Persamaan: y = f(x) = ax + b
  x = variabel bebas
  y = variabel tak bebas (terikat)
  a = koefisien/gradien/kemiringan
  b = konstanta
• Gambar:
  

Persamaan Linear Pangkat 2 (Dua)

• Persamaan: y = f(x) = ax^2 + bx + c
• Cari akar pakai rumus: x1,2 = [-b ± akar (b2 – 4ac)] : 2a
• Gambar:
  

Contoh Soal
Tentukan akar-akar persamaan linear sebagai berikut:
1. x^2 – 5x – 24 = 0
2. y = 3x^2 – 6x – 26
3. y = -2x^2 + 8x +30
4. y = 15 – 23x + 6x^2

jawab:

1. x^2 – 5x – 24 = 0
   maka a = 1; b = -5; c = -24
   x1,2 = [-b ± akar (b^2 – 4ac)] : 2a
   = [-(-5) ± akar ((-5)^2 – 4.1.(-24))] : 2.1
   = [5 ± akar (25 – (-96))] : 2
   = [5 ± akar (25 + 96)] : 2
   = [5 ± akar 121] : 2
   = [5 ± 11] : 2
   maka : x1 = [5 + 11] : 2 = 16 : 2 = 8
   : x2 = [5 – 11] : 2 = -6 : 2 = -3q
   
   
2. y = 3x^2 – 6x – 26
   x1,2 = [-(-6) ± akar ((-6)^2 – 4.3.(-26))] : 2.3
   = [6 ± akar (36 + 312)] : 6
   = [6 ± akar 348] : 6
   = [6 ± 18,65] : 6
   maka : x1 = [6 + 18,65] : 6 = 4,11
   x2 = [6 – 18,65] : 6 = -2,11
   
   
3. y = -2x^2 + 8x +30
   x1,2 = [-(8) ± akar (8^2 – 4.(-2).30)] : 2.(-2)
   = [-8 ± akar (64 + 240)] : -4
   = [-8 ± akar 304] : -4
   = [-8 ± 17,44] : -4
   maka : x1 = [-8 + 17,44] : -4 = -2,36
   x2 = [-8 – 17,44] : -4 = 6,36
   
   
4. y = 15 – 23x + 6x^2
   x1,2 = [-(-23) ± akar ((-23)^2 – 4.6.15)] : 2.6
   = [23 ± akar (529 – 360) : 12
   = [23 ± akar 169] : 12
   = [23 ± 13] : 12
   maka : x1 = [23 + 13] : 12 = 3
   x2 = [23 – 13] : 12 = 0,83

Tugas Mata Kuliah Metode Numerik
Rabu, 02 Desember 2009

Selengkapnya...

Latihan Kesalahan Pemangkasan & Pembulatan 2

Tentukan kesalahan relatif untuk kesalahan pemangkasan dan kesalahan pembulatan dari: y = 0,789.10^3 + 0,978.10^2

Jawab:

y = 0,789.10^3 + 0,978.10^2
>> Kesalahan pemangkasan

• nilai sebenarnya (y) = 0,789.10^3 + 0,978.10^2
• nilai pendekatan (ý) = fy = 0,789.10^3
• kesalahan absolut = gy = 0,978.10^2
• kesalahan relatif untuk kesalahan pemangkasan:
  = kesalahan absolut : (ý) x 100%
  = 0,978.10^2 : 0,789.10^3 x 100%
  = 1,2395437xxx 10^2.10^-3 x 100%
  = 1,2395.10^-1.10^2% [dibulatkan]
  = 1,2395.10^1%
  = 12,395%

>> Kesalahan pembulatan

• nilai sebenarnya (y) = 0,789.10^3 + 0,978.10^2
• gy = 0,978.10^2 lebih besar dari [>] 0,5 --> maka mencari nilai pendekatan (ý) dengan bentuk kedua.
  nilai pendekatan (ý) = |fy|.10^e + 10^e-t = 0,789.10^3 + 10^2 = 789 + 100 = 889
• kesalahan absolut = y – ý
  = 0,789.10^3 + 0,978.10^2 – 889
  = 789 + 97,8 – 889
  = 886,8 – 889
  = -2,2
  = 2,2 [dijadikan positif]
• kesalahan relatif untuk kesalahan pembulatan:
  = kesalahan absolut : (ý) x 100%
  = 2,2 : 889 x 100%
  = 0,002474690xxx x 100%
  = 0,002475 x 100% [dibulatkan]
  = 0,2475%

Tugas Mata Kuliah Metode Numerik
Rabu, 25 Nopember 2009

Selengkapnya...

Latihan Soal Kesalahan Pemangkasan & Pembulatan

Tentukan kesalahan relatif untuk kesalahan pemangkasan dan kesalahan pembulatan dari:
1. y = 0,4326.10^2 + 0,4376.10^-2
2. y = 0,2168.10^4 + 0,3281.10^1

Jawab:
1. y = 0,4326.10^2 + 0,4376.10^-2
>> Kesalahan pemangkasan

• nilai sebenarnya (y) = 0,4326.10^2 + 0,4376.10^-2
• nilai pendekatan (ý) = fy = 0,4326.10^2
• kesalahan absolut = gy = 0,4376.10^-2
• kesalahan relatif untuk kesalahan pemangkasan:
  = kesalahan absolut : (ý) x 100%
  = 0,4376.10^-2 : 0,4326.10^2 x 100%
  = 1,0115580xxx.10^-2.10^-2 100%
  = 1,0116.10^-4.10^2% [dibulatkan]
  = 1,0116.10^-2%
  = 0,010116%

>> Kesalahan pembulatan

• nilai sebenarnya (y) = 0,4326.10^2 + 0,4376.10^-2
• gy = 0,4376.10^2 artinya gy lebih kecil dari 0,5 --> maka mencari nilai pendekatan (ý) dengan bentuk pertama.
  nilai pendekatan (ý) = |fy|.10^e = 0,4326.10^2 = 43,26
• kesalahan absolut = y – ý
  = 0,4326.10^2 + 0,4376.10^-2 – 43,26
  = 43,26 + 0,004376 – 43,26
  = 43, 264376 – 43,26
  = 0,004376
• kesalahan relatif untuk kesalahan pembulatan:
  = kesalahan absolut : (ý) x 100%
  = 0,004376 : 43,26 x 100%
  = 0,00010115580xxx x 100%
  = 0,000101156 x 100% [dibulatkan]
  = 0,010116%

Jawab:
2. y = 0,2168.10^4 + 0,3281.10^1
>> Kesalahan pemangkasan

• nilai sebenarnya (y) = 0,2168.10^4 + 0,3281.10^1
• nilai pendekatan (ý) = fy = 0,2168.10^4
• kesalahan absolut = gy = 0,3281.10^1
• kesalahan relatif untuk kesalahan pemangkasan:
  = kesalahan absolut : (ý) x 100%
  = 0,3281.10^1 : 0,2168.10^4 x 100%
  = 1,513376384.10^1.10^-4 100%
  = 1,513.10^-3.10^2% [dibulatkan]
  = 1,513.10^-1%
  = 0,1513%

>> Kesalahan pembulatan

• nilai sebenarnya (y) = 0,2168.10^4 + 0,3281.10^1
• gy = 0,3281.10^1 artinya gy lebih kecil dari 0,5 --> maka mencari nilai pendekatan (ý) dengan bentuk pertama.
  nilai pendekatan (ý) = |fy|.10^e = 0,2168.10^4 = 2168
• kesalahan absolut:
  = y – ý
  = 0,2168.10^4 + 0,3281.10^1 – 2168
  = 2168 + 3,281 – 2168
  = 2171,281 – 2168
  = 3,281
• kesalahan relatif untuk kesalahan pembulatan:
  = kesalahan absolut : (ý) x 100%
  = 3,281 : 2168 x 100%
  = 0,001513376384xxx x 100%
  = 0,001513 x 100% [dibulatkan]
  = 0,1513%

Kesimpulan:
Bila gy [10^e-t] lebih kecil dari [>] 0,5 maka hasil kesalahan absolut & relatif pada kesalahan pemangkasan dan kesalahan pembulatan adalah SAMA.



Tugas Mata Kuliah Metode Numerik
Rabu, 18 Nopember 2009

Selengkapnya...

Kesalahan Pemangkasan & Pembulatan

Bentuk kesalahan dalam bilangan

• Kesalahan pemangkasan

0,6666666 --> 0,6666
2,7456830 --> 2,745

• Kesalahan pembulatan

½ = 0,5
¾ = 0,75
0,6666666 --> 0,6667
2,7456830 --> 2,746
Ingat pembulatan; lebih kecil [<] dari 5 --> 0 dan lebih besar atau sama dengan [>=] 5 --> 1

Analisa Kesalahan

• Kesalahan Absolut

Yaitu selisih antara nilai sebenarnya (y) dengan suatu nilai pendekatan (ý) pada nilai sebenarnya.

Kesalahan absolut = nilai sebenarnya – nilai pendekatan

Kesalahan absolut = y – ý

• Kesalahan Relatif

Yaitu kesalahan absolut dibagi nilai pendekatan (ý) dikalikan 100%.

Kesalahan relatif = [kesl. absolut : nilai pendekatan] x 100%
Kesalahan relatif = [kesalahan absolut : ý] x 100%

• Contoh Soal

Tentukan kesalahan absolut dan relatif dengan nilai sebenarnya 0,0006 dan nilai pendekatan 0,0005.

jawab:
Kesalahan absolut = y – ý
= 0,0006 – 0,0005
= 0,0001
Kesalahan relatif = [kesl.abs : ý] x 100%
= 0,0001 : 0,0005 x 100%
= 20%

Kesalahan Pemangkasan

• Bentuk umum; y = fy.10^e + gy.10^e-t
• Nilai pendekatan; ý = fy.10^e
• Kesalahan absolut; gy.10^e-t
• Kesalahan relatif; gy.10^e-t : fy.10^e x 100%
• Contoh soal: tentukan kesalahan relatif dari y = 0,7324.10^3 + 0,8261.10^-1

Jawab:
nilai pendekatan = 0,7324.10^3
kesalahan absolut = 0,8261.10^-1
kesalahan relatif = kesalahan absolut : nilai pendekatan x 100%
= 0,8261.10^-1 : 0,7324.10^3 x 100%
= 1,127935554.10^-1.10^-3 x 100%
--> 1,1279.10^-1.10^-3 x 100% [dibulatkan]
= 1,1279.10^-4 102%
= 1,1279.10^-2%
= 0,011279%

Kesalahan Pembulatan

• Nilai pendekatan [harus positif]

y = |fy|.10^e --> jika gy lebih kecil [<] dari 0,5 y = |fy|.10^e + 10^e-t --> jika gy >= 0,5
Ingat: 21,746 --> 0,21746.10^2 dan 0,0003821 --> 0,3821.10^-3

• Kesalahan absolut; y – ý
• Contoh soal: tentukan kesalahan relatif dari y = 0,7324.10^3 + 0,8261.10^-1
  

Jawab:
gy = 0,8261.10^-1 artinya menggunakan nilai pendekatan bentuk kedua [0,8261 lebih besar dari 0,5]
nilai sebenarnya (y) = 0,7324.10^3 + 0,8261.10^-1

nilai pendekatan (ý) = |fy|.10^e + 10^e-t
= 0,7324.10^3 + 10^-1
= 732,4 + 0,1
= 732,5

kesalahan absolut = y – ý
= 0,7324.10^3 + 0,8261.10^-1 – 732,5
= 732,4 + 0,08261 – 732,5
= 732,48261 – 732,5
= -0,01739
= 0,01739

kesalahan relatif = kesl.absolut : ý x 100%
= 0,01739 : 732,5 x 100%
= 0,0000237 x 100%
= 0,00237%

Kesimpulan
Kesalahan relatif pada kesalahan pemangkasan [0,011279%] lebih besar daripada pembulatan pembulatan [0,00237%].



Mata Kuliah Metode Numerik
Rabu, 18 Nopember 2009

Selengkapnya...