Metode Newton Raphson

• Menentukan akar persamaan non linear menggunakan metode Newton Raphson dengan interval yang memuat akar [x0, x1].
• Metode ini akan manghasilkan garis singgung di titik P(x1 ; f(x1)) dan garis akan memotong sumbu x di titik x2.

Persamaan garis singgung: y – f(x1) = f’ (x1) (x – x1) dan x2 = x1 – [f(x) : f’(x)]
Mungkin perlu diingat

• Persamaan garis singgung: y – y1 = m(x – x1)

• Turunan differensial y = a . n --> y’ = a . n . x^n-1
  Contoh: y = 5x^3 – 7x^2 + 8x + 10 --> y’ = 15x^2 – 14x + 8

Cara menentukan interval nya:

1. Tentukan x1 sebagai pendekatan awal (untuk tingkat pertama, bebas).
2. Tentukan nilai f(x1)
3. Tentukan turunan differensial f’(x) [dibaca f aksen x] dari persamaan non linear f(x) dan cari nilainya
4. Tentukan x2
5. Tulis interval-nya [ilustrasi menentukan interval seperti metode sekan]
   

Contoh Soal:
Tentukan akar dari f(x) = x^3 – 2x – 5 dengan metode Newton Raphson
Jawab:
1. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat pertama

• Menentukan nilai x0 dan x1 (kita ambil nilai sembarang)
  x0 = 2 dan x1 = 3
  
• Menentukan f(x1)
  f(x1) = x^3 – 2x – 5
  f(3) = 3^3 – 2.3 – 5 = 27 – 6 – 5 = 16
  
• Menentukan turunan f’(x) dan nilainya
  f(x) = x^3 – 2x – 5 --> f’(x) = 3x^2 – 2
  f’(3) = 3 . 3^2 – 2 = 27 – 2 = 25
  
• Menentukan x2
  x2 = x1 – [f(x) : f’(x)] = 3 – [16 : 25] = 3 – 0,64 = 2,36
  
• Menentukan interval
  Akar x2 lebih dekat dengan x0. Maka intervalnya adalah [x0 ; x2] yaitu [2 ; 2,36]
  

2. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat kedua

• Menentukan nilai x0 dan x1 (kita ambil dari interval langkah satu)
  x0 = 2 dan x1 = 2,36
  
• Menentukan f(x1)
  f(2,36) = (2,36)^3 – 2 . (2,36) – 5 = 13,144 – 4,72 – 5 = 3,424
  
• Menentukan nilainya f’(x)
  f’(2,36) = 3 . (2,36)^2 – 2 = 16,709 – 2 = 14,709
  
• Menentukan x2
  x2 = 2,36 – [3,424 : 14,709] = 2,36 – 0,233 = 2,127
  
• Menentukan interval
  Akar x2 lebih dekat dengan x0. Maka intervalnya adalah [x0 ; x2] yaitu [2 ; 2,127]

3. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat ketiga

• Menentukan nilai x0 dan x1 (kita ambil dari interval langkah kedua)x
  x0 = 2 dan x1 = 2,127
  
• Menentukan f(x1)
  f(2,127) = (2,127)^3 – 2 . (2,127) – 5 = 9,623 – 4,254 – 5 = 0,369
  
• Menentukan nilainya f’(x)
  f’(2,127) = 3 . (2,127)^2 – 2 = 13,572 – 2 = 11,572
  
• Menentukan x2
  x2 = 2,127 – [0,369 : 11,572] = 2,127 – 0,032 = 2,095
  
• Menentukan interval
  Akar x2 lebih dekat dengan x1. Seharusnya intervalnya adalah [x2 ; x1] yaitu [2,095 ; 2,127]. Karena nantinya x1 (nilai 2,127) menjadi sama dengan tingkat kedua maka interval yang benar adalah [2 ; 2,095].
  

4. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat keempat

• Menentukan nilai x0 dan x1 (kita ambil dari interval langkah ketiga)
  x0 = 2 dan x1 = 2,095
  
• Menentukan f(x1)
  f(2,095) = (2,095)^3 – 2 . (2,095) – 5 = 9,195 – 4,19 – 5 = 0,005
  
• Menentukan nilainya f’(x)
  f’(2,095) = 3 . (2,095)^2 – 2 = 13,167 – 2 = 11,165
  
• Menentukan x2
  x2 = 2,095 – [0,005 : 11,165] = 2,095 – 0,0005 = 2,0945
  
• Menentukan interval
  Akar x2 lebih dekat dengan x1. Seharusnya intervalnya adalah [x2 ; x1] yaitu [2,0945 ; 2,095]. Karena nantinya x1 (nilai 2,095) menjadi sama dengan tingkat ketiga maka interval yang benar adalah [2 ; 2,0945].

Materi Kuliah Metode Numerik
Rabu, 27 Januari 2010

Selengkapnya...

Ukuran Statistik [Modus]

Modus [Mo]

• Nilai yang sering muncul
• Nilai yang frekuensinya paling banyak.
  

Modus untuk Data Tidak Berkelompok

1. Sumbangan PMI untuk warga Jakarta Pusat dalam rupiah: 8000, 7500, 8000, 9000, 8000, 3000, 5000
   Maka Mo = 8000
   
   
2. Berat bayi dalam kilogram: 3,6; 3,5; 2,9; 3,1; 3,0
   Maka Mo = tidak ada
   
   
3. Umur mahasiswa dalam tahun: 19, 18, 19, 18, 23, 21, 19, 21, 18, 20, 22, 17
   Maka Mo = 18 dan 19

Modus untuk Data Berkelompok

• Kelas Modus --> kelas dimana modus berada atau kelas dengan frekuensi tertinggi.
• Modus = TBB Kelas Modus + i (d1 : [d1 + d2])
  Dimana:
  TBB = Tepi Batas Bawah
  i = interval
  d1 = beda frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya
  d2 = beda frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya
  
  
• Mungkin perlu diingat:
  Misal ada kelas 16 – 23 (dibaca 16 sampai dengan 23)
  maka:
  Batas Bawah (BB) = 16
  Batas Atas (BA) = 23
  Tepi Batas Bawah (TBB) = (15+16) : 2 =15,5
  Tepi Batas Atas (TBA) = (23+24) : 2 = 23,5
  
  

Contoh Soal : Tentukan modus dari data berkelompok sebagai berikut:

kelas f
16 – 23 10
24 – 31 17
32 – 39 7
40 – 47 10
48 – 55 3
56 – 63 3

jawabannya:

• Kelas modus = 24 – 31
• TBB = 23,5
• d1 = 17 - 10 = 7
• d2 = 17 - 7 = 10
  

Maka:
Mo = TBB + i (d1 : [d1 + d2])
= 23,5 + 8 (7 : [7 + 10])
= 23,5 + 8 (0,412)
= 23,5 + 3,296
= 26,796




Mata Kuliah Statistik I
Selasa, 26 Januari 2010

Selengkapnya...

Metode Sekan

• Menentukan akar persamaan non linear menggunakan metode sekan dengan interval yang memuat akar [x0, x1]

• Titik x2 ditentukan:
  x2 = x1 – P . f(x1) dimana P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
• Metode ini tidak melakukan penjepitan akar. Artinya akar x2 bisa jadi terletak disamping kiri x0, samping kanan x1 atau diantara x1 dan x0. Intinya, akar lain yang paling dekat dengan x2 adalah interval pasangan x2.
• Ilustrasi menentukan interval metode sekan:
  

a. x2 disebelah kiri x0

b. x2 disebelah kanan x1

c. x2 diantara x1 dan x0



Contoh soal: Tentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 dengan metode sekan
Jawab:

1. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat pertama
   
   • Menentukan nilai x0 dan x1 (sembarang, misal x0 = 1 dan x1 = 2)
     
   • Menentukan f(x0) dan f(x1)
     x0 = 1 --> f(x0) = f(1) = -6
     x1 = 2 --> f(x1) = f(2) = -1
     
   • Menentukan P
     P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
     = [2 – 1] : [(-1) – (-6)]
     = 1 : 5
     = 0,2
     
   • Menentukan x2
     x2 = x1 – P . f(x1)
     = 2 – [0,2 . (-1)]
     = 2 – (-0,2)
     = 2,2
     
   • Menentukan interval
     Akar x2 terletak di sebelah kanan x2. Maka intervalnya adalah [x1 ; x2] yaitu [2 ; 2,2]
   
   
   
2. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat dua
   
   • Menentukan nilai x0 dan x1 (mengambil nilai dari interval tingkat pertama)
     x0 = 2 dan x1 = 2,2
     
   • Menentukan f(x0) dan f(x1)
     x0 = 2 --> f(x0) = f(2) = -1
     x1 = 2,2 --> f(x1) = f(2,2) = 1,248
     
   • Menentukan P
     P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
     = [2,2 – 2] : [1,248 – (-1)]
     = 0,2 : 2,248
     = 0,0890
     
   • Menentukan x2
     x2 = x1 – P . f(x1)
     = 2,2 – [0,0890 . 1,248]
     = 2,2 – 0,111
     = 2,0889
     
   • Menentukan interval
     Akar x2 terletak di antara x0 dan x1. Karena harga x2 lebih dekat dengan harga x0 maka intervalnya adalah [x0 ; x2] yaitu [2 ; 2,0890]
   
   
   
3. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat tiga
   
   • Menentukan nilai x0 dan x1 (mengambil nilai dari interval tingkat dua)
     x0 = 2 dan x1 = 2,0890
     
   • Menentukan f(x0) dan f(x1)
     x0 = 2 --> f(x0) = f(2) = -1
     x1 = 2,0890 --> f(x1) = f(2,0890) = -0,0618
     
   • Menentukan P
     P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
     = [2,0890 – 2] : [(-0,0618) – (-1)]
     = 0,0890 : 0,9382
     = 0,0949
     
   • Menentukan x2
     x2 = x1 – P . f(x1)
     = 2,0890 – [0,0949 . (-0,0618)]
     = 2,0890 – 0,0059
     = 2,0949
     
   • Menentukan interval
     Akar x2 terletak di antara x0 dan x1. Karena harga x2 lebih dekat dengan harga x0 maka intervalnya adalah [x0 ; x2] yaitu [2 ; 2,0949]
   
   
   
4. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat empat
   
   • Menentukan nilai x0 dan x1 (mengambil nilai dari interval tingkat tiga)
     x0 = 2 dan x1 = 2,0949
     
   • Menentukan f(x0) dan f(x1)
     x0 = 2 --> f(x0) = f(2) = -1
     x1 = 2,0949 --> f(x1) = f(2,0949) = 0,0039
     
   • Menentukan P
     P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
     = [2,0949 – 2] : [0,0039 – (-1)]
     = 0,0949 : 1,0039
     = 0,0945
     
   • Menentukan x2
     x2 = x1 – P . f(x1)
     = 2,0949 – [0,0945 . 0,0039]
     = 2,0949 – 0,0004
     = 2,0945
     
   • Menentukan interval
     Akar x2 terletak di antara x0 dan x1. Karena harga x2 lebih dekat dengan harga x0 maka intervalnya adalah [x0 ; x2] yaitu [2 ; 2,0945]
   
   

Materi Kuiah Metode Numerik
Rabu, 13 Januari 2010

Selengkapnya...

Metode Regulafalsi

• Menentukan akar persamaan non linear menggunakan metode regulafalsi dengan interval yang memuat akar [x0, x1].
• Titik x2 ditentukan
  x2 = x1 – P . f(x1) dimana P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
• Menentukan intervalnya
  
  1. o Jika f(x0) . f(x2) < x1 =" x2"> intervalnya [x0, x2]
  2. Jika f(x0) . f(x2) > 0 maka x0 = x2 --> intervalnya [x2, x1]
  3. Jika f(x0) . f(x2) = 0 maka x0 atau x1 adalah akarnya.

Contoh soal:

Tentukan akar f(x) = 2x^3 – 5x^2 – 7 dengan metode regulafalsi
Jawab:

1. Menentukan akar f(x) = 2x^3 – 5x^2 – 7 tingkat satu
   
   • Menentukan x0 dan x1
     x0 = 2,8 dan x1 = 3x
     
   • Menentukan f(x0) dan f(x1)
     x0 = 2,8 --> f(x0) = f(2,8) = -2,296
     x1 = 3 --> f(x1) = f(3) = 2
     
   • Menentukan P
     P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
     = [3 – 2,8] : [2 – (-2,296)]
     = 0,2 : 4,296
     = 0,0465
     
   • Menentukan x2
     x2 = x1 – P . f(x1)
     = 3 – [0,0465 . 2]
     = 3 – 0,093
     = 2,907
     
   • Menentukan f(x2)
     x2 = 2,907 --> f(x2) = f(2,907) = -0,1212
     
   • Menentukan perkalian f(x0) . f(x2)
     f(x0) . f(x2) = (-2,296) . (-0,1212) = (+) 0,2837
     
   • Menentukan interval
     Harga f(x0) . f(x2) > 0, maka x0 diganti x2, jadi intervalnya [2,907 ; 3]
     
     
2. Menentukan akar f(x) = 2x^3 – 5x^2 – 7 tingkat dua
   
   • Menentukan x0 dan x1
     x0 = 2,907 dan x1 = 3
     
   • Menentukan f(x0) dan f(x1)
     x0 = 2,907 --> f(x0) = f(2,907) = -0,1212
     x1 = 3 --> f(x1) = f(3) = 2
     
   • Menentukan P
     P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
     = [3 – 2,907] : [2 – (-0,1212)]
     = 0,093 : 2,1212
     = 0,04384
     
   • Menentukan x2
     x2 = x1 – P . f(x1)
     = 3 – [0,04384 . 2]
     = 3 – 0,0877
     = 2,9123
     
   • Menentukan f(x2)
     x2 = 2,912 --> f(x2) = f(2,9123) = -0,0062
     
   • Menentukan perkalian f(x0) . f(x2)
     f(x0) . f(x2) = (-0,1212) . (-0,0062) = (+) 0,0007
     
   • Menentukan interval
     Harga f(x0) . f(x2) > 0, maka x0 diganti x2, jadi intervalnya [2,9123 ; 3]
     
     
3. Menentukan akar f(x) = 2x^3 – 5x^2 – 7 tingkat tiga
   
   • Menentukan x0 dan x1
     x0 = 2,9123 dan x1 = 3
     
   • Menentukan f(x0) dan f(x1)
     x0 = 2,9123 --> f(x0) = f(2,9123) = -0,0062
     x1 = 3 --> f(x1) = f(3) = 2
     
   • Menentukan P
     P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
     = [3 – 2,9123] : [2 – (-0,0062)]
     = 0,0877 : 2,0062
     = 0,04372
     
   • Menentukan x2
     x2 = x1 – P . f(x1)
     = 3 – [0,04372 . 2]
     = 3 – 0,0874
     = 2,9126
     
   • Menentukan f(x2)
     x2 = 2,9126 --> f(x2) = f(2,9126) = 0,00037
     
   • Menentukan perkalian f(x0) . f(x2)
     f(x0) . f(x2) = (-0,0062) . (0,00037) = (-) 0,0000023
     
   • Menentukan interval
     Harga f(x0) . f(x2) < style="font-weight: bold;">2,9123 ; 2,9126]
     
     
4. Menentukan akar f(x) = 2x^3 – 5x^2 – 7 tingkat empat
   
   • Menentukan x0 dan x1
     x0 = 2,9123 dan x1 = 2,9126
     
   • Menentukan f(x0) dan f(x1)
     x0 = 2,9123 --> f(x0) = f(2,9123) = -0,0062
     x1 = 2,9126 --> f(x1) = f(2,9126) = 0,0004
     
   • Menentukan P
     P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
     = [2,9126 – 2,9123] : [0,0004 – (-0,0062)]
     = 0,0003 : 0,0066
     = 0,0455
     
   • Menentukan x2
     x2 = x1 – P . f(x1)
     = 2,9126 – [0,0455 . 0,0004]
     = 2,9126 – 0,00002
     = 2,91258
     
   • Menentukan f(x2)
     x2 = 2,91258 --> f(x2) = f(2,91258) = -0,0000668
     
   • Menentukan perkalian f(x0) . f(x2)
     f(x0) . f(x2) = (-0,0062) . (-0,0000668) = (+) 0,0000004
     
   • Menentukan interval
     Harga f(x0) . f(x2) > 0, maka x0 diganti x2, jadi intervalnya [2,91258 ; 2,9126]
     
     
     

Materi Kuliah Metode Numerik
Rabu, 13 Januari 2010

Selengkapnya...

Sebuah Kisah....

Merupakan sepenggal kisah perjalanan mahasiswa Stikom Cki Wijaya Kesuma ....
Video di atas diedit dengan menggunakan corel video studio v12 + adobe premier v2.0. Selengkapnya...

Ukuran Statistik [Mean]

Ukuran Statistik --> ukuran pemusatan
Rata-rata Hitung (Mean)
Notasi : M [dibaca Miu] = rata-rata hitung pupulasi
X- [dibaca X bar] = rata-rata hitung sampel

Data Tidak Berkelompok

• Populasi
  M = ∑ Xi : N
• Sampel
  X- = ∑ Xi : n
• Keterangan :
  ∑ [dibaca sigma] = jumlah
  Xi = ukuran data
  N = ukuran populasi
  n = ukuran sampel
• Contoh:
  1. Usia mahasiswa (tahun) yaitu 22; 23; 19; 20; 21
  maka X- = M = [22 + 23 + 19 + 20 + 21] : 5 = 105 : 5 = 21
  2. Jumlah mahasiswa Perguruan Tinggi yaitu 850; 1100; 1150; 1250; 750; 900
  maka X- = M = 6000 : 6 = 1000

Data Berkelompok

• Nilainya merupakan pendekatan.
• Biasanya merupakan sampel.
• Ada 2 cara yaitu cara langsung dan cara pendugaan.
  

1) Cara Langsung

• Rumus : X- = ∑ fiXi : ∑ fi = ∑ fiXi : n
• Keterangan:
  X- = rata-rata hitung
  fi = frekuensi ke i
  Xi = titik tengah ke i
  n = ukuran sampel
• Contoh soal
  Mengambil contoh soal yang lalu yakni data usia 50 karyawan PT XXXX dengan usia terendah 16 dan tertinggi 63 (TDF dibawah).
  ∑ fi = 50
  ∑ fiXi = 1692
  maka X- = ∑ fiXi : ∑ fi = 1682 : 50 = 33,84

2) Cara Pendugaan

• Rumus : X- = M + [(∑ fi . di) : n]
• Keterangan:
  M = nilai dugaan (ditentukan dengan nilai tengah dari seluruh data)
  di = titik tengah dikurangi M
  n = titik tengah dari seluruh data
• Contoh soal
  Mengambil soal yang di atas.

maka:
M = 40
∑ fidi = -308
maka X- = M + [(∑ fi . di) : n]
= 40 + [-308 : 50]
= 40 – 6,16
= 33,84

Mata Kuliah Statistik I
Selasa, 22 Desember 2009

Selengkapnya...