Metode Sekan

• Menentukan akar persamaan non linear menggunakan metode sekan dengan interval yang memuat akar [x0, x1]

• Titik x2 ditentukan:
  x2 = x1 – P . f(x1) dimana P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
• Metode ini tidak melakukan penjepitan akar. Artinya akar x2 bisa jadi terletak disamping kiri x0, samping kanan x1 atau diantara x1 dan x0. Intinya, akar lain yang paling dekat dengan x2 adalah interval pasangan x2.
• Ilustrasi menentukan interval metode sekan:
  

a. x2 disebelah kiri x0

b. x2 disebelah kanan x1

c. x2 diantara x1 dan x0



Contoh soal: Tentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 dengan metode sekan
Jawab:

1. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat pertama
   
   • Menentukan nilai x0 dan x1 (sembarang, misal x0 = 1 dan x1 = 2)
     
   • Menentukan f(x0) dan f(x1)
     x0 = 1 --> f(x0) = f(1) = -6
     x1 = 2 --> f(x1) = f(2) = -1
     
   • Menentukan P
     P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
     = [2 – 1] : [(-1) – (-6)]
     = 1 : 5
     = 0,2
     
   • Menentukan x2
     x2 = x1 – P . f(x1)
     = 2 – [0,2 . (-1)]
     = 2 – (-0,2)
     = 2,2
     
   • Menentukan interval
     Akar x2 terletak di sebelah kanan x2. Maka intervalnya adalah [x1 ; x2] yaitu [2 ; 2,2]
   
   
   
2. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat dua
   
   • Menentukan nilai x0 dan x1 (mengambil nilai dari interval tingkat pertama)
     x0 = 2 dan x1 = 2,2
     
   • Menentukan f(x0) dan f(x1)
     x0 = 2 --> f(x0) = f(2) = -1
     x1 = 2,2 --> f(x1) = f(2,2) = 1,248
     
   • Menentukan P
     P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
     = [2,2 – 2] : [1,248 – (-1)]
     = 0,2 : 2,248
     = 0,0890
     
   • Menentukan x2
     x2 = x1 – P . f(x1)
     = 2,2 – [0,0890 . 1,248]
     = 2,2 – 0,111
     = 2,0889
     
   • Menentukan interval
     Akar x2 terletak di antara x0 dan x1. Karena harga x2 lebih dekat dengan harga x0 maka intervalnya adalah [x0 ; x2] yaitu [2 ; 2,0890]
   
   
   
3. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat tiga
   
   • Menentukan nilai x0 dan x1 (mengambil nilai dari interval tingkat dua)
     x0 = 2 dan x1 = 2,0890
     
   • Menentukan f(x0) dan f(x1)
     x0 = 2 --> f(x0) = f(2) = -1
     x1 = 2,0890 --> f(x1) = f(2,0890) = -0,0618
     
   • Menentukan P
     P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
     = [2,0890 – 2] : [(-0,0618) – (-1)]
     = 0,0890 : 0,9382
     = 0,0949
     
   • Menentukan x2
     x2 = x1 – P . f(x1)
     = 2,0890 – [0,0949 . (-0,0618)]
     = 2,0890 – 0,0059
     = 2,0949
     
   • Menentukan interval
     Akar x2 terletak di antara x0 dan x1. Karena harga x2 lebih dekat dengan harga x0 maka intervalnya adalah [x0 ; x2] yaitu [2 ; 2,0949]
   
   
   
4. Menentukan akar f(x) = x^3 – 2x – 5 tingkat empat
   
   • Menentukan nilai x0 dan x1 (mengambil nilai dari interval tingkat tiga)
     x0 = 2 dan x1 = 2,0949
     
   • Menentukan f(x0) dan f(x1)
     x0 = 2 --> f(x0) = f(2) = -1
     x1 = 2,0949 --> f(x1) = f(2,0949) = 0,0039
     
   • Menentukan P
     P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
     = [2,0949 – 2] : [0,0039 – (-1)]
     = 0,0949 : 1,0039
     = 0,0945
     
   • Menentukan x2
     x2 = x1 – P . f(x1)
     = 2,0949 – [0,0945 . 0,0039]
     = 2,0949 – 0,0004
     = 2,0945
     
   • Menentukan interval
     Akar x2 terletak di antara x0 dan x1. Karena harga x2 lebih dekat dengan harga x0 maka intervalnya adalah [x0 ; x2] yaitu [2 ; 2,0945]
   
   

Materi Kuiah Metode Numerik
Rabu, 13 Januari 2010

Selengkapnya...

Metode Regulafalsi

• Menentukan akar persamaan non linear menggunakan metode regulafalsi dengan interval yang memuat akar [x0, x1].
• Titik x2 ditentukan
  x2 = x1 – P . f(x1) dimana P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
• Menentukan intervalnya
  
  1. o Jika f(x0) . f(x2) < x1 =" x2"> intervalnya [x0, x2]
  2. Jika f(x0) . f(x2) > 0 maka x0 = x2 --> intervalnya [x2, x1]
  3. Jika f(x0) . f(x2) = 0 maka x0 atau x1 adalah akarnya.

Contoh soal:

Tentukan akar f(x) = 2x^3 – 5x^2 – 7 dengan metode regulafalsi
Jawab:

1. Menentukan akar f(x) = 2x^3 – 5x^2 – 7 tingkat satu
   
   • Menentukan x0 dan x1
     x0 = 2,8 dan x1 = 3x
     
   • Menentukan f(x0) dan f(x1)
     x0 = 2,8 --> f(x0) = f(2,8) = -2,296
     x1 = 3 --> f(x1) = f(3) = 2
     
   • Menentukan P
     P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
     = [3 – 2,8] : [2 – (-2,296)]
     = 0,2 : 4,296
     = 0,0465
     
   • Menentukan x2
     x2 = x1 – P . f(x1)
     = 3 – [0,0465 . 2]
     = 3 – 0,093
     = 2,907
     
   • Menentukan f(x2)
     x2 = 2,907 --> f(x2) = f(2,907) = -0,1212
     
   • Menentukan perkalian f(x0) . f(x2)
     f(x0) . f(x2) = (-2,296) . (-0,1212) = (+) 0,2837
     
   • Menentukan interval
     Harga f(x0) . f(x2) > 0, maka x0 diganti x2, jadi intervalnya [2,907 ; 3]
     
     
2. Menentukan akar f(x) = 2x^3 – 5x^2 – 7 tingkat dua
   
   • Menentukan x0 dan x1
     x0 = 2,907 dan x1 = 3
     
   • Menentukan f(x0) dan f(x1)
     x0 = 2,907 --> f(x0) = f(2,907) = -0,1212
     x1 = 3 --> f(x1) = f(3) = 2
     
   • Menentukan P
     P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
     = [3 – 2,907] : [2 – (-0,1212)]
     = 0,093 : 2,1212
     = 0,04384
     
   • Menentukan x2
     x2 = x1 – P . f(x1)
     = 3 – [0,04384 . 2]
     = 3 – 0,0877
     = 2,9123
     
   • Menentukan f(x2)
     x2 = 2,912 --> f(x2) = f(2,9123) = -0,0062
     
   • Menentukan perkalian f(x0) . f(x2)
     f(x0) . f(x2) = (-0,1212) . (-0,0062) = (+) 0,0007
     
   • Menentukan interval
     Harga f(x0) . f(x2) > 0, maka x0 diganti x2, jadi intervalnya [2,9123 ; 3]
     
     
3. Menentukan akar f(x) = 2x^3 – 5x^2 – 7 tingkat tiga
   
   • Menentukan x0 dan x1
     x0 = 2,9123 dan x1 = 3
     
   • Menentukan f(x0) dan f(x1)
     x0 = 2,9123 --> f(x0) = f(2,9123) = -0,0062
     x1 = 3 --> f(x1) = f(3) = 2
     
   • Menentukan P
     P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
     = [3 – 2,9123] : [2 – (-0,0062)]
     = 0,0877 : 2,0062
     = 0,04372
     
   • Menentukan x2
     x2 = x1 – P . f(x1)
     = 3 – [0,04372 . 2]
     = 3 – 0,0874
     = 2,9126
     
   • Menentukan f(x2)
     x2 = 2,9126 --> f(x2) = f(2,9126) = 0,00037
     
   • Menentukan perkalian f(x0) . f(x2)
     f(x0) . f(x2) = (-0,0062) . (0,00037) = (-) 0,0000023
     
   • Menentukan interval
     Harga f(x0) . f(x2) < style="font-weight: bold;">2,9123 ; 2,9126]
     
     
4. Menentukan akar f(x) = 2x^3 – 5x^2 – 7 tingkat empat
   
   • Menentukan x0 dan x1
     x0 = 2,9123 dan x1 = 2,9126
     
   • Menentukan f(x0) dan f(x1)
     x0 = 2,9123 --> f(x0) = f(2,9123) = -0,0062
     x1 = 2,9126 --> f(x1) = f(2,9126) = 0,0004
     
   • Menentukan P
     P = [x1 – x0] : [f(x1) – f(x0)]
     = [2,9126 – 2,9123] : [0,0004 – (-0,0062)]
     = 0,0003 : 0,0066
     = 0,0455
     
   • Menentukan x2
     x2 = x1 – P . f(x1)
     = 2,9126 – [0,0455 . 0,0004]
     = 2,9126 – 0,00002
     = 2,91258
     
   • Menentukan f(x2)
     x2 = 2,91258 --> f(x2) = f(2,91258) = -0,0000668
     
   • Menentukan perkalian f(x0) . f(x2)
     f(x0) . f(x2) = (-0,0062) . (-0,0000668) = (+) 0,0000004
     
   • Menentukan interval
     Harga f(x0) . f(x2) > 0, maka x0 diganti x2, jadi intervalnya [2,91258 ; 2,9126]
     
     
     

Materi Kuliah Metode Numerik
Rabu, 13 Januari 2010

Selengkapnya...

Sebuah Kisah....

Merupakan sepenggal kisah perjalanan mahasiswa Stikom Cki Wijaya Kesuma ....
Video di atas diedit dengan menggunakan corel video studio v12 + adobe premier v2.0. Selengkapnya...

Ukuran Statistik [Mean]

Ukuran Statistik --> ukuran pemusatan
Rata-rata Hitung (Mean)
Notasi : M [dibaca Miu] = rata-rata hitung pupulasi
X- [dibaca X bar] = rata-rata hitung sampel

Data Tidak Berkelompok

• Populasi
  M = ∑ Xi : N
• Sampel
  X- = ∑ Xi : n
• Keterangan :
  ∑ [dibaca sigma] = jumlah
  Xi = ukuran data
  N = ukuran populasi
  n = ukuran sampel
• Contoh:
  1. Usia mahasiswa (tahun) yaitu 22; 23; 19; 20; 21
  maka X- = M = [22 + 23 + 19 + 20 + 21] : 5 = 105 : 5 = 21
  2. Jumlah mahasiswa Perguruan Tinggi yaitu 850; 1100; 1150; 1250; 750; 900
  maka X- = M = 6000 : 6 = 1000

Data Berkelompok

• Nilainya merupakan pendekatan.
• Biasanya merupakan sampel.
• Ada 2 cara yaitu cara langsung dan cara pendugaan.
  

1) Cara Langsung

• Rumus : X- = ∑ fiXi : ∑ fi = ∑ fiXi : n
• Keterangan:
  X- = rata-rata hitung
  fi = frekuensi ke i
  Xi = titik tengah ke i
  n = ukuran sampel
• Contoh soal
  Mengambil contoh soal yang lalu yakni data usia 50 karyawan PT XXXX dengan usia terendah 16 dan tertinggi 63 (TDF dibawah).
  ∑ fi = 50
  ∑ fiXi = 1692
  maka X- = ∑ fiXi : ∑ fi = 1682 : 50 = 33,84

2) Cara Pendugaan

• Rumus : X- = M + [(∑ fi . di) : n]
• Keterangan:
  M = nilai dugaan (ditentukan dengan nilai tengah dari seluruh data)
  di = titik tengah dikurangi M
  n = titik tengah dari seluruh data
• Contoh soal
  Mengambil soal yang di atas.

maka:
M = 40
∑ fidi = -308
maka X- = M + [(∑ fi . di) : n]
= 40 + [-308 : 50]
= 40 – 6,16
= 33,84

Mata Kuliah Statistik I
Selasa, 22 Desember 2009

Selengkapnya...

Akar-akar Persamaan Non Linear

Untuk fungsi yang berderajat 3 (tiga) atau lebih

• Contoh:
  f(x) = 2x^3 – 5x^2 -7
  f(x) = 4x^2 – 2x
  
  
• Mencari akar persamaan non linear dengan menggunakan kamputer/kalkulator.
  
  
• Dengan menggunakan interval yang akan kita tentukan [10 ; 10]. Kemudian dari hasil f(x) yang di dapat, kita ambil yang mempunyai harga positif dan negatif.
  

Contoh Soal
Tentukan interval akar-akar persamaan non linear f(x) = 2x^3 – 5x^2 – 7
jawab:
1. Beda 2
Maka interval nya: [2 ; 4]

2. Beda 0,2
Maka interval nya: [2,8 ; 3,0]

3. Beda 0,02
Maka interval nya: [2,90 ; 2,92]

4. Beda 0,002
Maka interval nya: [2,912 ; 2,914]



Materi Kuliah Metode Numerik
Rabu, 13 Desember2009

Selengkapnya...

Akar-akar Persamaan Linear

Persamaan Linear Pangkat 1 (Satu)

• Persamaan: y = f(x) = ax + b
  x = variabel bebas
  y = variabel tak bebas (terikat)
  a = koefisien/gradien/kemiringan
  b = konstanta
• Gambar:
  

Persamaan Linear Pangkat 2 (Dua)

• Persamaan: y = f(x) = ax^2 + bx + c
• Cari akar pakai rumus: x1,2 = [-b ± akar (b2 – 4ac)] : 2a
• Gambar:
  

Contoh Soal
Tentukan akar-akar persamaan linear sebagai berikut:
1. x^2 – 5x – 24 = 0
2. y = 3x^2 – 6x – 26
3. y = -2x^2 + 8x +30
4. y = 15 – 23x + 6x^2

jawab:

1. x^2 – 5x – 24 = 0
   maka a = 1; b = -5; c = -24
   x1,2 = [-b ± akar (b^2 – 4ac)] : 2a
   = [-(-5) ± akar ((-5)^2 – 4.1.(-24))] : 2.1
   = [5 ± akar (25 – (-96))] : 2
   = [5 ± akar (25 + 96)] : 2
   = [5 ± akar 121] : 2
   = [5 ± 11] : 2
   maka : x1 = [5 + 11] : 2 = 16 : 2 = 8
   : x2 = [5 – 11] : 2 = -6 : 2 = -3q
   
   
2. y = 3x^2 – 6x – 26
   x1,2 = [-(-6) ± akar ((-6)^2 – 4.3.(-26))] : 2.3
   = [6 ± akar (36 + 312)] : 6
   = [6 ± akar 348] : 6
   = [6 ± 18,65] : 6
   maka : x1 = [6 + 18,65] : 6 = 4,11
   x2 = [6 – 18,65] : 6 = -2,11
   
   
3. y = -2x^2 + 8x +30
   x1,2 = [-(8) ± akar (8^2 – 4.(-2).30)] : 2.(-2)
   = [-8 ± akar (64 + 240)] : -4
   = [-8 ± akar 304] : -4
   = [-8 ± 17,44] : -4
   maka : x1 = [-8 + 17,44] : -4 = -2,36
   x2 = [-8 – 17,44] : -4 = 6,36
   
   
4. y = 15 – 23x + 6x^2
   x1,2 = [-(-23) ± akar ((-23)^2 – 4.6.15)] : 2.6
   = [23 ± akar (529 – 360) : 12
   = [23 ± akar 169] : 12
   = [23 ± 13] : 12
   maka : x1 = [23 + 13] : 12 = 3
   x2 = [23 – 13] : 12 = 0,83

Tugas Mata Kuliah Metode Numerik
Rabu, 02 Desember 2009

Selengkapnya...

Sistem Bilangan

>> Bilangan

• Bilangan nyata: bilangan rasional dan bulat [bilangan cacah, prima dan asli).
• Bilangan khayal: bilangan rasional dan pecahan
  

>> Hubungan Perbandingan Antar Bilangan

1. < : lebih kecil
2. > : lebih besar
3. ≤ : lebih kecil atau dengan
4. ≥ : lebih besar atau dengan
   

>> Sifat-sifat Pertidaksamaan Bilangan

1. Jika a ≤ b, maka -a ≥ -b; sedangkan jika a ≥ b, maka -a ≤ -b
   Contoh: a = 4 dan b = 5, maka -4 ≥ -5
2. Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b; sedangkan jika a ≥ b dan x ≥ 0, maka x.a ≥ x.b
   Contoh: a = 4, b = 5 dan x = 2, maka 2.4 ≤ 2.5 [8 ≤ 10]
3. Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b; sedangkan jika a ≥ b dan x ≤ 0, maka x.a ≤ x.b
   Contoh: a = 4, b = 5 dan x = -2, maka -2.4 ≥ -2.5 [-8 ≥ -10]
4. Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b + d; sedangkan jika a ≥ b dan c ≥ d, maka a + c ≥ b + d
   Contoh: a = 4, b = 5, c =2 dan d = 3, maka 4 + 2 ≤ 5 + 3 [6 ≤ 8]

Materi Kuliah Matematika Kalkulus
Jum'at, 04 Desember2009

Selengkapnya...